Подкатегория в теории категорий — категория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ , объекты которой являются также объектами заданной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и морфизмы которой являются также морфизмами в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ задаётся при помощи:

• подкласса объектов ${\displaystyle \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})}$ ,
• подкласса морфизмов ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})\subseteq \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})}$

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого ${\displaystyle X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})}$ тождественный морфизм ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ принадлежит ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$ ,
• для каждого морфизма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$ его прообраз ${\displaystyle X}$ и образ ${\displaystyle Y}$ лежат в ${\displaystyle \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})}$ ,
• для каждой пары морфизмов ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$ в ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$ их композиция ${\displaystyle f\circ g}$ лежит в ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {S}})}$ , если она определена в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ .

Из этих условий следует, что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор ${\displaystyle I\colon {\mathcal {S}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}$ , называемый функтором вложения .

Подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ называется полной подкатегорией ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , если для каждой пары объектов ${\displaystyle X,Y\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {S}})}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}$ .

Подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ называется замкнутой относительно изоморфизма , если любой изоморфизм ${\displaystyle k\colon X\to Y}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , такой что ${\displaystyle Y}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ , также принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ . Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной .

Подкатегория ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ — широкая , если она содержит все объекты ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ . В частности, единственная широкая полная подкатегория категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — сама ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ .

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый .

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .