Факторизация гауссовых чисел — разложение целых гауссовых чисел на простые гауссовы множители.

Предварительные замечания

Особенность делимости в кольце гауссовых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ отличающая её от делимости натуральных чисел : кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ содержит четыре делителя единицы ${\displaystyle (1;\ -1;\ i;\ -i),}$ норма которых (квадрат комплексного модуля) равна 1. Два гауссовых числа называются ассоциированными , если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности . Пример: гауссовы числа ${\displaystyle 1+i}$ и ${\displaystyle 1-i}$ ассоциированы, поскольку:

${\displaystyle 1+i=i(1-i)}$ .

У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним, и делители у них у всех совпадают. Все делители чисел также определены с точностью до ассоциированности.

Для гауссовых чисел имеет место аналог основной теоремы арифметики : каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы , разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей .

Пример: ${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)}$ . Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: ${\displaystyle 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),}$ так что однозначность не нарушается.

Алгоритм разложения гауссового числа на простые множители

Чтобы практически разложить гауссово число ${\displaystyle z}$ на простые множители, можно использовать следующее их свойство: все делители гауссова числа ${\displaystyle z}$ являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к ${\displaystyle z}$ числу.

Таким образом, начать следует с разложения нормы числа ${\displaystyle z}$ на простые натуральные множители .

1. Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как ${\displaystyle (1+i)(1-i)}$ . Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые ${\displaystyle z}$ делится нацело.
2. Кроме числа 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида ${\displaystyle 4n+3}$ является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму ${\displaystyle N(z)=~z{\overline {z}}}$ , но и само ${\displaystyle z}$ . Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число ${\displaystyle {\overline {z}}}$ . Отсюда вытекает, что множитель вида ${\displaystyle 4n+3}$ входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого ${\displaystyle z}$ — в степени, вдвое меньшей.
3. Множитель вида ${\displaystyle 4n+1}$ , согласно теореме Ферма — Эйлера , можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.

Например, для разложения на простые множители ${\displaystyle 9+12i}$ (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: ${\displaystyle 225=3^{2}\cdot 5^{2}}$ . По предыдущему, ${\displaystyle 5=(2-i)(2+i)}$ . При этом ${\displaystyle 9+12i}$ делится только на ${\displaystyle 2+i}$ и не делится на ${\displaystyle 2-i}$ . Частное от деления ${\displaystyle 9+12i}$ на ${\displaystyle 3(2+i)}$ равно ${\displaystyle 2+i,}$ поэтому окончательный результат:

${\displaystyle 9+12i=3\cdot (2+i)^{2}}$ .

Таблица разложения гауссовых чисел с нормой до 1000

Соглашения

Данная таблица показывает для всех гауссовых чисел с нормой от 2 до 1000, является ли это число простым гауссовым . Если да, то такое число помечено в таблице кодом: простое , а если нет, то приводится его разложение на простые гауссовы множители. Отметим, что простое натуральное число не обязано быть простым гауссовым числом; например, числа 2 и 5 как гауссовы числа не являются простыми: ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i).}$

В первой колонке таблицы — норма гауссова числа (не всякое натуральное число может быть нормой гауссова числа). Во второй — числа, имеющие эту норму, с точностью до ассоциированности — из 4 чисел, ассоциированных с числом x : ( ${\displaystyle x,-x,ix,-ix}$ ) в таблице представлено одно, у которого вещественная часть положительна, а мнимая — неотрицательна. Например, во второй строке таблицы разложение числа ${\displaystyle 2}$ охватывает также разложения ${\displaystyle -2;\ 2i;-2i.}$

Каждое разложение, показанное в строке таблицы, имеет ещё по крайней мере три варианта, получаемых заменой простых множителей на ассоциированные с ними. Пример:

${\displaystyle 1+3i=(1+i)(2+i)=i(1-i)(2+i)=-i(1+i)(-1+2i)=\dots }$

Поэтому принято следующее соглашение: из 4 вариаций каждого простого множителя представлена та, что находится в правой полуплоскости комплексной плоскости , и у которой абсолютное значение вещественной части не меньше, чем абсолютное значение мнимой части.

Гауссовы числа упорядочены по возрастанию их нормы (последовательность в OEIS ). Не всякое натуральное число может быть гауссовой нормой (см. , и ).

Таблица факторизации

Норма	Число	Разложение
2	1+ i	простое
4	2	− i ·(1+ i ) 2
5	2+ i 1+2 i	простое простое
8	2+2 i	− i ·(1+ i ) 3
9	3	простое
10	1+3 i 3+ i	(1+ i )·(2+ i ) (1+ i )·(2− i )
13	3+2 i 2+3 i	простое простое
16	4	−(1+ i ) 4
17	1+4 i 4+ i	простое простое
18	3+3 i	(1+ i )·3
20	2+4 i 4+2 i	(1+ i ) 2 ·(2− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )
25	3+4 i 4+3 i 5	(2+ i ) 2 i ·(2− i ) 2 (2+ i )·(2− i )
26	1+5 i 5+ i	(1+ i )·(3+2 i ) (1+ i )·(3−2 i )
29	2+5 i 5+2 i	простое простое
32	4+4 i	−(1+ i ) 5
34	3+5 i 5+3 i	(1+ i )·(4+ i ) (1+ i )·(4− i )
36	6	− i ·(1+ i ) 2 ·3
37	1+6 i 6+ i	простое простое
40	2+6 i 6+2 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(2− i )
41	4+5 i 5+4 i	простое простое
45	3+6 i 6+3 i	i ·(2− i )·3 (2+ i )·3
49	7	простое
50	1+7 i 5+5 i 7+ i	i ·(1+ i )·(2− i ) 2 (1+ i )·(2+ i )·(2− i ) − i ·(1+ i )·(2+ i ) 2
52	4+6 i 6+4 i	(1+ i ) 2 ·(3−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(3+2 i )
53	2+7 i 7+2 i	простое простое
58	3+7 i 7+3 i	(1+ i )·(5+2 i ) (1+ i )·(5−2 i )
61	5+6 i 6+5 i	простое простое
64	8	i ·(1+ i ) 6
65	1+8 i 4+7 i 7+4 i 8+ i	i ·(2+ i )·(3−2 i ) (2+ i )·(3+2 i ) i ·(2− i )·(3−2 i ) (2− i )·(3+2 i )
68	2+8 i 8+2 i	(1+ i ) 2 ·(4− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(4+ i )
72	6+6 i	− i ·(1+ i ) 3 ·3
73	3+8 i 8+3 i	простое простое
74	5+7 i 7+5 i	(1+ i )·(6+ i ) (1+ i )·(6− i )
80	4+8 i 8+4 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(2− i ) −(1+ i ) 4 ·(2+ i )
81	9	3 2
82	1+9 i 9+ i	(1+ i )·(5+4 i ) (1+ i )·(5−4 i )
85	2+9 i 6+7 i 7+6 i 9+2 i	i ·(2− i )·(4+ i ) i ·(2− i )·(4− i ) (2+ i )·(4+ i ) (2+ i )·(4− i )
89	5+8 i 8+5 i	простое простое
90	3+9 i 9+3 i	(1+ i )·(2+ i )·3 (1+ i )·(2− i )·3
97	4+9 i 9+4 i	простое простое
98	7+7 i	(1+ i )·7
100	6+8 i 8+6 i 10	− i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i ) 2 (1+ i ) 2 ·(2− i ) 2 − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(2− i )
101	1+10 i 10+ i	простое простое
104	2+10 i 10+2 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(3+2 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(3−2 i )
106	5+9 i 9+5 i	(1+ i )·(7+2 i ) (1+ i )·(7−2 i )
109	3+10 i 10+3 i	простое простое
113	7+8 i 8+7 i	простое простое
116	4+10 i 10+4 i	(1+ i ) 2 ·(5−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(5+2 i )
117	6+9 i 9+6 i	i ·3·(3−2 i ) 3·(3+2 i )
121	11	простое
122	1+11 i 11+ i	(1+ i )·(6+5 i ) (1+ i )·(6−5 i )
125	2+11 i 5+10 i 10+5 i 11+2 i	(2+ i ) 3 i ·(2+ i )·(2− i ) 2 (2+ i ) 2 ·(2− i ) i ·(2− i ) 3
128	8+8 i	i ·(1+ i ) 7
130	3+11 i 7+9 i 9+7 i 11+3 i	i ·(1+ i )·(2− i )·(3−2 i ) (1+ i )·(2− i )·(3+2 i ) (1+ i )·(2+ i )·(3−2 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(3+2 i )
136	6+10 i 10+6 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(4+ i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(4− i )
137	4+11 i 11+4 i	простое простое
144	12	−(1+ i ) 4 ·3
145	1+12 i 8+9 i 9+8 i 12+ i	i ·(2− i )·(5+2 i ) (2+ i )·(5+2 i ) i ·(2− i )·(5−2 i ) (2+ i )·(5−2 i )
146	5+11 i 11+5 i	(1+ i )·(8+3 i ) (1+ i )·(8−3 i )
148	2+12 i 12+2 i	(1+ i ) 2 ·(6− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(6+ i )
149	7+10 i 10+7 i	простое простое
153	3+12 i 12+3 i	i ·3·(4− i ) 3·(4+ i )
157	6+11 i 11+6 i	простое простое
160	4+12 i 12+4 i	−(1+ i ) 5 ·(2+ i ) −(1+ i ) 5 ·(2− i )
162	9+9 i	(1+ i )·3 2
164	8+10 i 10+8 i	(1+ i ) 2 ·(5−4 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(5+4 i )
169	5+12 i 12+5 i 13	(3+2 i ) 2 i ·(3−2 i ) 2 (3+2 i )·(3−2 i )
170	1+13 i 7+11 i 11+7 i 13+ i	(1+ i )·(2+ i )·(4+ i ) (1+ i )·(2+ i )·(4− i ) (1+ i )·(2− i )·(4+ i ) (1+ i )·(2− i )·(4− i )
173	2+13 i 13+2 i	простое простое
178	3+13 i 13+3 i	(1+ i )·(8+5 i ) (1+ i )·(8−5 i )
180	6+12 i 12+6 i	(1+ i ) 2 ·(2− i )·3 − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·3
181	9+10 i 10+9 i	простое простое
185	4+13 i 8+11 i 11+8 i 13+4 i	i ·(2− i )·(6+ i ) i ·(2− i )·(6− i ) (2+ i )·(6+ i ) (2+ i )·(6− i )
193	7+12 i 12+7 i	простое простое
194	5+13 i 13+5 i	(1+ i )·(9+4 i ) (1+ i )·(9−4 i )
196	14	− i ·(1+ i ) 2 ·7
197	1+14 i 14+ i	простое простое
200	2+14 i 10+10 i 14+2 i	(1+ i ) 3 ·(2− i ) 2 − i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i )·(2− i ) −(1+ i ) 3 ·(2+ i ) 2
202	9+11 i 11+9 i	(1+ i )·(10+ i ) (1+ i )·(10− i )
205	3+14 i 6+13 i 13+6 i 14+3 i	i ·(2+ i )·(5−4 i ) (2+ i )·(5+4 i ) i ·(2− i )·(5−4 i ) (2− i )·(5+4 i )
208	8+12 i 12+8 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(3−2 i ) −(1+ i ) 4 ·(3+2 i )
212	4+14 i 14+4 i	(1+ i ) 2 ·(7−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(7+2 i )
218	7+13 i 13+7 i	(1+ i )·(10+3 i ) (1+ i )·(10−3 i )
221	5+14 i 10+11 i 11+10 i 14+5 i	i ·(3−2 i )·(4+ i ) (3+2 i )·(4+ i ) i ·(3−2 i )·(4− i ) (3+2 i )·(4− i )
225	9+12 i 12+9 i 15	(2+ i ) 2 ·3 i ·(2− i ) 2 ·3 (2+ i )·(2− i )·3
226	1+15 i 15+ i	(1+ i )·(8+7 i ) (1+ i )·(8−7 i )
229	2+15 i 15+2 i	простое простое
232	6+14 i 14+6 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(5+2 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(5−2 i )
233	8+13 i 13+8 i	простое простое
234	3+15 i 15+3 i	(1+ i )·3·(3+2 i ) (1+ i )·3·(3−2 i )
241	4+15 i 15+4 i	простое простое
242	11+11 i	(1+ i )·11
244	10+12 i 12+10 i	(1+ i ) 2 ·(6−5 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(6+5 i )
245	7+14 i 14+7 i	i ·(2− i )·7 (2+ i )·7

Норма	Число	Разложение
250	5+15 i 9+13 i 13+9 i 15+5 i	(1+ i )·(2+ i ) 2 ·(2− i ) i ·(1+ i )·(2− i ) 3 − i ·(1+ i )·(2+ i ) 3 (1+ i )·(2+ i )·(2− i ) 2
256	16	(1+ i ) 8
257	1+16 i 16+ i	простое простое
260	2+16 i 8+14 i 14+8 i 16+2 i	(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(3−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(3+2 i ) (1+ i ) 2 ·(2− i )·(3−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2− i )·(3+2 i )
261	6+15 i 15+6 i	i ·3·(5−2 i ) 3·(5+2 i )
265	3+16 i 11+12 i 12+11 i 16+3 i	i ·(2− i )·(7+2 i ) i ·(2− i )·(7−2 i ) (2+ i )·(7+2 i ) (2+ i )·(7−2 i )
269	10+13 i 13+10 i	простое простое
272	4+16 i 16+4 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(4− i ) −(1+ i ) 4 ·(4+ i )
274	7+15 i 15+7 i	(1+ i )·(11+4 i ) (1+ i )·(11−4 i )
277	9+14 i 14+9 i	простое простое
281	5+16 i 16+5 i	простое простое
288	12+12 i	−(1+ i ) 5 ·3
289	8+15 i 15+8 i 17	i ·(4− i ) 2 (4+ i ) 2 (4+ i )·(4− i )
290	1+17 i 11+13 i 13+11 i 17+ i	i ·(1+ i )·(2− i )·(5−2 i ) (1+ i )·(2+ i )·(5−2 i ) (1+ i )·(2− i )·(5+2 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(5+2 i )
292	6+16 i 16+6 i	(1+ i ) 2 ·(8−3 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(8+3 i )
293	2+17 i 17+2 i	простое простое
296	10+14 i 14+10 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(6+ i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(6− i )
298	3+17 i 17+3 i	(1+ i )·(10+7 i ) (1+ i )·(10−7 i )
305	4+17 i 7+16 i 16+7 i 17+4 i	i ·(2+ i )·(6−5 i ) (2+ i )·(6+5 i ) i ·(2− i )·(6−5 i ) (2− i )·(6+5 i )
306	9+15 i 15+9 i	(1+ i )·3·(4+ i ) (1+ i )·3·(4− i )
313	12+13 i 13+12 i	простое простое
314	5+17 i 17+5 i	(1+ i )·(11+6 i ) (1+ i )·(11−6 i )
317	11+14 i 14+11 i	простое простое
320	8+16 i 16+8 i	−(1+ i ) 6 ·(2− i ) i ·(1+ i ) 6 ·(2+ i )
324	18	− i ·(1+ i ) 2 ·3 2
325	1+18 i 6+17 i 10+15 i 15+10 i 17+6 i 18+ i	(2+ i ) 2 ·(3+2 i ) i ·(2− i ) 2 ·(3+2 i ) i ·(2+ i )·(2− i )·(3−2 i ) (2+ i )·(2− i )·(3+2 i ) (2+ i ) 2 ·(3−2 i ) i ·(2− i ) 2 ·(3−2 i )
328	2+18 i 18+2 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(5+4 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(5−4 i )
333	3+18 i 18+3 i	i ·3·(6− i ) 3·(6+ i )
337	9+16 i 16+9 i	простое простое
338	7+17 i 13+13 i 17+7 i	i ·(1+ i )·(3−2 i ) 2 (1+ i )·(3+2 i )·(3−2 i ) − i ·(1+ i )·(3+2 i ) 2
340	4+18 i 12+14 i 14+12 i 18+4 i	(1+ i ) 2 ·(2− i )·(4+ i ) (1+ i ) 2 ·(2− i )·(4− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(4+ i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(4− i )
346	11+15 i 15+11 i	(1+ i )·(13+2 i ) (1+ i )·(13−2 i )
349	5+18 i 18+5 i	простое простое
353	8+17 i 17+8 i	простое простое
356	10+16 i 16+10 i	(1+ i ) 2 ·(8−5 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(8+5 i )
360	6+18 i 18+6 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i )·3 − i ·(1+ i ) 3 ·(2− i )·3
361	19	простое
362	1+19 i 19+ i	(1+ i )·(10+9 i ) (1+ i )·(10−9 i )
365	2+19 i 13+14 i 14+13 i 19+2 i	i ·(2− i )·(8+3 i ) (2+ i )·(8+3 i ) i ·(2− i )·(8−3 i ) (2+ i )·(8−3 i )
369	12+15 i 15+12 i	i ·3·(5−4 i ) 3·(5+4 i )
370	3+19 i 9+17 i 17+9 i 19+3 i	(1+ i )·(2+ i )·(6+ i ) (1+ i )·(2+ i )·(6− i ) (1+ i )·(2− i )·(6+ i ) (1+ i )·(2− i )·(6− i )
373	7+18 i 18+7 i	простое простое
377	4+19 i 11+16 i 16+11 i 19+4 i	i ·(3−2 i )·(5+2 i ) (3+2 i )·(5+2 i ) i ·(3−2 i )·(5−2 i ) (3+2 i )·(5−2 i )
386	5+19 i 19+5 i	(1+ i )·(12+7 i ) (1+ i )·(12−7 i )
388	8+18 i 18+8 i	(1+ i ) 2 ·(9−4 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(9+4 i )
389	10+17 i 17+10 i	простое простое
392	14+14 i	− i ·(1+ i ) 3 ·7
394	13+15 i 15+13 i	(1+ i )·(14+ i ) (1+ i )·(14− i )
397	6+19 i 19+6 i	простое простое
400	12+16 i 16+12 i 20	−(1+ i ) 4 ·(2+ i ) 2 − i ·(1+ i ) 4 ·(2− i ) 2 −(1+ i ) 4 ·(2+ i )·(2− i )
401	1+20 i 20+ i	простое простое
404	2+20 i 20+2 i	(1+ i ) 2 ·(10− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(10+ i )
405	9+18 i 18+9 i	i ·(2− i )·3 2 (2+ i )·3 2
409	3+20 i 20+3 i	простое простое
410	7+19 i 11+17 i 17+11 i 19+7 i	i ·(1+ i )·(2− i )·(5−4 i ) (1+ i )·(2− i )·(5+4 i ) (1+ i )·(2+ i )·(5−4 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(5+4 i )
416	4+20 i 20+4 i	−(1+ i ) 5 ·(3+2 i ) −(1+ i ) 5 ·(3−2 i )
421	14+15 i 15+14 i	простое простое
424	10+18 i 18+10 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(7+2 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(7−2 i )
425	5+20 i 8+19 i 13+16 i 16+13 i 19+8 i 20+5 i	i ·(2+ i )·(2− i )·(4− i ) (2+ i ) 2 ·(4+ i ) i ·(2− i ) 2 ·(4+ i ) (2+ i ) 2 ·(4− i ) i ·(2− i ) 2 ·(4− i ) (2+ i )·(2− i )·(4+ i )
433	12+17 i 17+12 i	простое простое
436	6+20 i 20+6 i	(1+ i ) 2 ·(10−3 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(10+3 i )
441	21	3·7
442	1+21 i 9+19 i 19+9 i 21+ i	i ·(1+ i )·(3−2 i )·(4− i ) (1+ i )·(3+2 i )·(4− i ) (1+ i )·(3−2 i )·(4+ i ) − i ·(1+ i )·(3+2 i )·(4+ i )
445	2+21 i 11+18 i 18+11 i 21+2 i	i ·(2+ i )·(8−5 i ) (2+ i )·(8+5 i ) i ·(2− i )·(8−5 i ) (2− i )·(8+5 i )
449	7+20 i 20+7 i	простое простое
450	3+21 i 15+15 i 21+3 i	i ·(1+ i )·(2− i ) 2 ·3 (1+ i )·(2+ i )·(2− i )·3 − i ·(1+ i )·(2+ i ) 2 ·3
452	14+16 i 16+14 i	(1+ i ) 2 ·(8−7 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(8+7 i )
457	4+21 i 21+4 i	простое простое
458	13+17 i 17+13 i	(1+ i )·(15+2 i ) (1+ i )·(15−2 i )
461	10+19 i 19+10 i	простое простое
464	8+20 i 20+8 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(5−2 i ) −(1+ i ) 4 ·(5+2 i )
466	5+21 i 21+5 i	(1+ i )·(13+8 i ) (1+ i )·(13−8 i )
468	12+18 i 18+12 i	(1+ i ) 2 ·3·(3−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·3·(3+2 i )
477	6+21 i 21+6 i	i ·3·(7−2 i ) 3·(7+2 i )
481	9+20 i 15+16 i 16+15 i 20+9 i	i ·(3−2 i )·(6+ i ) i ·(3−2 i )·(6− i ) (3+2 i )·(6+ i ) (3+2 i )·(6− i )
482	11+19 i 19+11 i	(1+ i )·(15+4 i ) (1+ i )·(15−4 i )
484	22	− i ·(1+ i ) 2 ·11
485	1+22 i 14+17 i 17+14 i 22+ i	i ·(2− i )·(9+4 i ) (2+ i )·(9+4 i ) i ·(2− i )·(9−4 i ) (2+ i )·(9−4 i )
488	2+22 i 22+2 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(6+5 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(6−5 i )
490	7+21 i 21+7 i	(1+ i )·(2+ i )·7 (1+ i )·(2− i )·7
493	3+22 i 13+18 i 18+13 i 22+3 i	i ·(4+ i )·(5−2 i ) i ·(4− i )·(5−2 i ) (4+ i )·(5+2 i ) (4− i )·(5+2 i )

Норма	Число	Разложение
500	4+22 i 10+20 i 20+10 i 22+4 i	− i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i ) 3 (1+ i ) 2 ·(2+ i )·(2− i ) 2 − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i ) 2 ·(2− i ) (1+ i ) 2 ·(2− i ) 3
505	8+21 i 12+19 i 19+12 i 21+8 i	i ·(2− i )·(10+ i ) i ·(2− i )·(10− i ) (2+ i )·(10+ i ) (2+ i )·(10− i )
509	5+22 i 22+5 i	простое простое
512	16+16 i	(1+ i ) 9
514	15+17 i 17+15 i	(1+ i )·(16+ i ) (1+ i )·(16− i )
520	6+22 i 14+18 i 18+14 i 22+6 i	(1+ i ) 3 ·(2− i )·(3−2 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(2− i )·(3+2 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i )·(3−2 i ) −(1+ i ) 3 ·(2+ i )·(3+2 i )
521	11+20 i 20+11 i	простое простое
522	9+21 i 21+9 i	(1+ i )·3·(5+2 i ) (1+ i )·3·(5−2 i )
529	23	простое
530	1+23 i 13+19 i 19+13 i 23+ i	(1+ i )·(2+ i )·(7+2 i ) (1+ i )·(2+ i )·(7−2 i ) (1+ i )·(2− i )·(7+2 i ) (1+ i )·(2− i )·(7−2 i )
533	2+23 i 7+22 i 22+7 i 23+2 i	i ·(3+2 i )·(5−4 i ) (3+2 i )·(5+4 i ) i ·(3−2 i )·(5−4 i ) (3−2 i )·(5+4 i )
538	3+23 i 23+3 i	(1+ i )·(13+10 i ) (1+ i )·(13−10 i )
541	10+21 i 21+10 i	простое простое
544	12+20 i 20+12 i	−(1+ i ) 5 ·(4+ i ) −(1+ i ) 5 ·(4− i )
545	4+23 i 16+17 i 17+16 i 23+4 i	i ·(2− i )·(10+3 i ) i ·(2− i )·(10−3 i ) (2+ i )·(10+3 i ) (2+ i )·(10−3 i )
548	8+22 i 22+8 i	(1+ i ) 2 ·(11−4 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(11+4 i )
549	15+18 i 18+15 i	i ·3·(6−5 i ) 3·(6+5 i )
554	5+23 i 23+5 i	(1+ i )·(14+9 i ) (1+ i )·(14−9 i )
557	14+19 i 19+14 i	простое простое
562	11+21 i 21+11 i	(1+ i )·(16+5 i ) (1+ i )·(16−5 i )
565	6+23 i 9+22 i 22+9 i 23+6 i	i ·(2+ i )·(8−7 i ) (2+ i )·(8+7 i ) i ·(2− i )·(8−7 i ) (2− i )·(8+7 i )
569	13+20 i 20+13 i	простое простое
576	24	i ·(1+ i ) 6 ·3
577	1+24 i 24+ i	простое простое
578	7+23 i 17+17 i 23+7 i	(1+ i )·(4+ i ) 2 (1+ i )·(4+ i )·(4− i ) (1+ i )·(4− i ) 2
580	2+24 i 16+18 i 18+16 i 24+2 i	(1+ i ) 2 ·(2− i )·(5+2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(5+2 i ) (1+ i ) 2 ·(2− i )·(5−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(5−2 i )
584	10+22 i 22+10 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(8+3 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(8−3 i )
585	3+24 i 12+21 i 21+12 i 24+3 i	i ·(2+ i )·3·(3−2 i ) (2+ i )·3·(3+2 i ) i ·(2− i )·3·(3−2 i ) (2− i )·3·(3+2 i )
586	15+19 i 19+15 i	(1+ i )·(17+2 i ) (1+ i )·(17−2 i )
592	4+24 i 24+4 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(6− i ) −(1+ i ) 4 ·(6+ i )
593	8+23 i 23+8 i	простое простое
596	14+20 i 20+14 i	(1+ i ) 2 ·(10−7 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(10+7 i )
601	5+24 i 24+5 i	простое простое
605	11+22 i 22+11 i	i ·(2− i )·11 (2+ i )·11
610	9+23 i 13+21 i 21+13 i 23+9 i	i ·(1+ i )·(2− i )·(6−5 i ) (1+ i )·(2− i )·(6+5 i ) (1+ i )·(2+ i )·(6−5 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(6+5 i )
612	6+24 i 24+6 i	(1+ i ) 2 ·3·(4− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·3·(4+ i )
613	17+18 i 18+17 i	простое простое
617	16+19 i 19+16 i	простое простое
625	7+24 i 15+20 i 20+15 i 24+7 i 25	−(2− i ) 4 (2+ i ) 3 ·(2− i ) i ·(2+ i )·(2− i ) 3 − i ·(2+ i ) 4 (2+ i ) 2 ·(2− i ) 2
626	1+25 i 25+ i	(1+ i )·(13+12 i ) (1+ i )·(13−12 i )
628	12+22 i 22+12 i	(1+ i ) 2 ·(11−6 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(11+6 i )
629	2+25 i 10+23 i 23+10 i 25+2 i	i ·(4− i )·(6+ i ) i ·(4− i )·(6− i ) (4+ i )·(6+ i ) (4+ i )·(6− i )
634	3+25 i 25+3 i	(1+ i )·(14+11 i ) (1+ i )·(14−11 i )
637	14+21 i 21+14 i	i ·(3−2 i )·7 (3+2 i )·7
640	8+24 i 24+8 i	i ·(1+ i ) 7 ·(2+ i ) i ·(1+ i ) 7 ·(2− i )
641	4+25 i 25+4 i	простое простое
648	18+18 i	− i ·(1+ i ) 3 ·3 2
650	5+25 i 11+23 i 17+19 i 19+17 i 23+11 i 25+5 i	(1+ i )·(2+ i )·(2− i )·(3+2 i ) (1+ i )·(2+ i ) 2 ·(3−2 i ) i ·(1+ i )·(2− i ) 2 ·(3−2 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i ) 2 ·(3+2 i ) (1+ i )·(2− i ) 2 ·(3+2 i ) (1+ i )·(2+ i )·(2− i )·(3−2 i )
653	13+22 i 22+13 i	простое простое
656	16+20 i 20+16 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(5−4 i ) −(1+ i ) 4 ·(5+4 i )
657	9+24 i 24+9 i	i ·3·(8−3 i ) 3·(8+3 i )
661	6+25 i 25+6 i	простое простое
666	15+21 i 21+15 i	(1+ i )·3·(6+ i ) (1+ i )·3·(6− i )
673	12+23 i 23+12 i	простое простое
674	7+25 i 25+7 i	(1+ i )·(16+9 i ) (1+ i )·(16−9 i )
676	10+24 i 24+10 i 26	− i ·(1+ i ) 2 ·(3+2 i ) 2 (1+ i ) 2 ·(3−2 i ) 2 − i ·(1+ i ) 2 ·(3+2 i )·(3−2 i )
677	1+26 i 26+ i	простое простое
680	2+26 i 14+22 i 22+14 i 26+2 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i )·(4+ i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i )·(4− i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(2− i )·(4+ i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(2− i )·(4− i )
685	3+26 i 18+19 i 19+18 i 26+3 i	i ·(2− i )·(11+4 i ) (2+ i )·(11+4 i ) i ·(2− i )·(11−4 i ) (2+ i )·(11−4 i )
689	8+25 i 17+20 i 20+17 i 25+8 i	i ·(3−2 i )·(7+2 i ) (3+2 i )·(7+2 i ) i ·(3−2 i )·(7−2 i ) (3+2 i )·(7−2 i )
692	4+26 i 26+4 i	(1+ i ) 2 ·(13−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(13+2 i )
697	11+24 i 16+21 i 21+16 i 24+11 i	i ·(4+ i )·(5−4 i ) (4+ i )·(5+4 i ) i ·(4− i )·(5−4 i ) (4− i )·(5+4 i )
698	13+23 i 23+13 i	(1+ i )·(18+5 i ) (1+ i )·(18−5 i )
701	5+26 i 26+5 i	простое простое
706	9+25 i 25+9 i	(1+ i )·(17+8 i ) (1+ i )·(17−8 i )
709	15+22 i 22+15 i	простое простое
712	6+26 i 26+6 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(8+5 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(8−5 i )
720	12+24 i 24+12 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(2− i )·3 −(1+ i ) 4 ·(2+ i )·3
722	19+19 i	(1+ i )·19
724	18+20 i 20+18 i	(1+ i ) 2 ·(10−9 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(10+9 i )
725	7+26 i 10+25 i 14+23 i 23+14 i 25+10 i 26+7 i	(2+ i ) 2 ·(5+2 i ) i ·(2+ i )·(2− i )·(5−2 i ) i ·(2− i ) 2 ·(5+2 i ) (2+ i ) 2 ·(5−2 i ) (2+ i )·(2− i )·(5+2 i ) i ·(2− i ) 2 ·(5−2 i )
729	27	3 3
730	1+27 i 17+21 i 21+17 i 27+ i	i ·(1+ i )·(2− i )·(8−3 i ) (1+ i )·(2+ i )·(8−3 i ) (1+ i )·(2− i )·(8+3 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(8+3 i )
733	2+27 i 27+2 i	простое простое
738	3+27 i 27+3 i	(1+ i )·3·(5+4 i ) (1+ i )·3·(5−4 i )
740	8+26 i 16+22 i 22+16 i 26+8 i	(1+ i ) 2 ·(2− i )·(6+ i ) (1+ i ) 2 ·(2− i )·(6− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(6+ i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(6− i )
745	4+27 i 13+24 i 24+13 i 27+4 i	i ·(2+ i )·(10−7 i ) (2+ i )·(10+7 i ) i ·(2− i )·(10−7 i ) (2− i )·(10+7 i )
746	11+25 i 25+11 i	(1+ i )·(18+7 i ) (1+ i )·(18−7 i )

Норма	Число	Разложение
754	5+27 i 15+23 i 23+15 i 27+5 i	i ·(1+ i )·(3−2 i )·(5−2 i ) (1+ i )·(3+2 i )·(5−2 i ) (1+ i )·(3−2 i )·(5+2 i ) − i ·(1+ i )·(3+2 i )·(5+2 i )
757	9+26 i 26+9 i	простое простое
761	19+20 i 20+19 i	простое простое
765	6+27 i 18+21 i 21+18 i 27+6 i	i ·(2− i )·3·(4+ i ) i ·(2− i )·3·(4− i ) (2+ i )·3·(4+ i ) (2+ i )·3·(4− i )
769	12+25 i 25+12 i	простое простое
772	14+24 i 24+14 i	(1+ i ) 2 ·(12−7 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(12+7 i )
773	17+22 i 22+17 i	простое простое
776	10+26 i 26+10 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(9+4 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(9−4 i )
778	7+27 i 27+7 i	(1+ i )·(17+10 i ) (1+ i )·(17−10 i )
784	28	−(1+ i ) 4 ·7
785	1+28 i 16+23 i 23+16 i 28+ i	i ·(2+ i )·(11−6 i ) (2+ i )·(11+6 i ) i ·(2− i )·(11−6 i ) (2− i )·(11+6 i )
788	2+28 i 28+2 i	(1+ i ) 2 ·(14− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(14+ i )
793	3+28 i 8+27 i 27+8 i 28+3 i	i ·(3+2 i )·(6−5 i ) (3+2 i )·(6+5 i ) i ·(3−2 i )·(6−5 i ) (3−2 i )·(6+5 i )
794	13+25 i 25+13 i	(1+ i )·(19+6 i ) (1+ i )·(19−6 i )
797	11+26 i 26+11 i	простое простое
800	4+28 i 20+20 i 28+4 i	− i ·(1+ i ) 5 ·(2− i ) 2 −(1+ i ) 5 ·(2+ i )·(2− i ) i ·(1+ i ) 5 ·(2+ i ) 2
801	15+24 i 24+15 i	i ·3·(8−5 i ) 3·(8+5 i )
802	19+21 i 21+19 i	(1+ i )·(20+ i ) (1+ i )·(20− i )
808	18+22 i 22+18 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(10+ i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(10− i )
809	5+28 i 28+5 i	простое простое
810	9+27 i 27+9 i	(1+ i )·(2+ i )·3 2 (1+ i )·(2− i )·3 2
818	17+23 i 23+17 i	(1+ i )·(20+3 i ) (1+ i )·(20−3 i )
820	6+28 i 12+26 i 26+12 i 28+6 i	(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(5−4 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(5+4 i ) (1+ i ) 2 ·(2− i )·(5−4 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(2− i )·(5+4 i )
821	14+25 i 25+14 i	простое простое
829	10+27 i 27+10 i	простое простое
832	16+24 i 24+16 i	−(1+ i ) 6 ·(3−2 i ) i ·(1+ i ) 6 ·(3+2 i )
833	7+28 i 28+7 i	i ·(4− i )·7 (4+ i )·7
841	20+21 i 21+20 i 29	i ·(5−2 i ) 2 (5+2 i ) 2 (5+2 i )·(5−2 i )
842	1+29 i 29+ i	(1+ i )·(15+14 i ) (1+ i )·(15−14 i )
845	2+29 i 13+26 i 19+22 i 22+19 i 26+13 i 29+2 i	−(2− i )·(3−2 i ) 2 i ·(2− i )·(3+2 i )·(3−2 i ) i ·(2+ i )·(3−2 i ) 2 (2− i )·(3+2 i ) 2 (2+ i )·(3+2 i )·(3−2 i ) − i ·(2+ i )·(3+2 i ) 2
848	8+28 i 28+8 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(7−2 i ) −(1+ i ) 4 ·(7+2 i )
850	3+29 i 11+27 i 15+25 i 25+15 i 27+11 i 29+3 i	(1+ i )·(2+ i ) 2 ·(4− i ) i ·(1+ i )·(2− i ) 2 ·(4− i ) (1+ i )·(2+ i )·(2− i )·(4+ i ) (1+ i )·(2+ i )·(2− i )·(4− i ) − i ·(1+ i )·(2+ i ) 2 ·(4+ i ) (1+ i )·(2− i ) 2 ·(4+ i )
853	18+23 i 23+18 i	простое простое
857	4+29 i 29+4 i	простое простое
865	9+28 i 17+24 i 24+17 i 28+9 i	i ·(2− i )·(13+2 i ) i ·(2− i )·(13−2 i ) (2+ i )·(13+2 i ) (2+ i )·(13−2 i )
866	5+29 i 29+5 i	(1+ i )·(17+12 i ) (1+ i )·(17−12 i )
872	14+26 i 26+14 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(10+3 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(10−3 i )
873	12+27 i 27+12 i	i ·3·(9−4 i ) 3·(9+4 i )
877	6+29 i 29+6 i	простое простое
881	16+25 i 25+16 i	простое простое
882	21+21 i	(1+ i )·3·7
884	10+28 i 20+22 i 22+20 i 28+10 i	(1+ i ) 2 ·(3−2 i )·(4+ i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(3+2 i )·(4+ i ) (1+ i ) 2 ·(3−2 i )·(4− i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(3+2 i )·(4− i )
890	7+29 i 19+23 i 23+19 i 29+7 i	i ·(1+ i )·(2− i )·(8−5 i ) (1+ i )·(2− i )·(8+5 i ) (1+ i )·(2+ i )·(8−5 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(8+5 i )
898	13+27 i 27+13 i	(1+ i )·(20+7 i ) (1+ i )·(20−7 i )
900	18+24 i 24+18 i 30	− i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i ) 2 ·3 (1+ i ) 2 ·(2− i ) 2 ·3 − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·(2− i )·3
901	1+30 i 15+26 i 26+15 i 30+ i	i ·(4+ i )·(7−2 i ) i ·(4− i )·(7−2 i ) (4+ i )·(7+2 i ) (4− i )·(7+2 i )
904	2+30 i 30+2 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(8+7 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·(8−7 i )
905	8+29 i 11+28 i 28+11 i 29+8 i	i ·(2+ i )·(10−9 i ) (2+ i )·(10+9 i ) i ·(2− i )·(10−9 i ) (2− i )·(10+9 i )
909	3+30 i 30+3 i	i ·3·(10− i ) 3·(10+ i )
914	17+25 i 25+17 i	(1+ i )·(21+4 i ) (1+ i )·(21−4 i )
916	4+30 i 30+4 i	(1+ i ) 2 ·(15−2 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(15+2 i )
922	9+29 i 29+9 i	(1+ i )·(19+10 i ) (1+ i )·(19−10 i )
925	5+30 i 14+27 i 21+22 i 22+21 i 27+14 i 30+5 i	i ·(2+ i )·(2− i )·(6− i ) (2+ i ) 2 ·(6+ i ) i ·(2− i ) 2 ·(6+ i ) (2+ i ) 2 ·(6− i ) i ·(2− i ) 2 ·(6− i ) (2+ i )·(2− i )·(6+ i )
928	12+28 i 28+12 i	−(1+ i ) 5 ·(5+2 i ) −(1+ i ) 5 ·(5−2 i )
929	20+23 i 23+20 i	простое простое
932	16+26 i 26+16 i	(1+ i ) 2 ·(13−8 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(13+8 i )
936	6+30 i 30+6 i	− i ·(1+ i ) 3 ·3·(3+2 i ) − i ·(1+ i ) 3 ·3·(3−2 i )
937	19+24 i 24+19 i	простое простое
941	10+29 i 29+10 i	простое простое
949	7+30 i 18+25 i 25+18 i 30+7 i	i ·(3−2 i )·(8+3 i ) (3+2 i )·(8+3 i ) i ·(3−2 i )·(8−3 i ) (3+2 i )·(8−3 i )
953	13+28 i 28+13 i	простое простое
954	15+27 i 27+15 i	(1+ i )·3·(7+2 i ) (1+ i )·3·(7−2 i )
961	31	простое
962	1+31 i 11+29 i 29+11 i 31+ i	(1+ i )·(3+2 i )·(6+ i ) (1+ i )·(3+2 i )·(6− i ) (1+ i )·(3−2 i )·(6+ i ) (1+ i )·(3−2 i )·(6− i )
964	8+30 i 30+8 i	(1+ i ) 2 ·(15−4 i ) − i ·(1+ i ) 2 ·(15+4 i )
965	2+31 i 17+26 i 26+17 i 31+2 i	i ·(2+ i )·(12−7 i ) (2+ i )·(12+7 i ) i ·(2− i )·(12−7 i ) (2− i )·(12+7 i )
968	22+22 i	− i ·(1+ i ) 3 ·11
970	3+31 i 21+23 i 23+21 i 31+3 i	i ·(1+ i )·(2− i )·(9−4 i ) (1+ i )·(2+ i )·(9−4 i ) (1+ i )·(2− i )·(9+4 i ) − i ·(1+ i )·(2+ i )·(9+4 i )
976	20+24 i 24+20 i	− i ·(1+ i ) 4 ·(6−5 i ) −(1+ i ) 4 ·(6+5 i )
977	4+31 i 31+4 i	простое простое
980	14+28 i 28+14 i	(1+ i ) 2 ·(2− i )·7 − i ·(1+ i ) 2 ·(2+ i )·7
981	9+30 i 30+9 i	i ·3·(10−3 i ) 3·(10+3 i )
985	12+29 i 16+27 i 27+16 i 29+12 i	i ·(2− i )·(14+ i ) i ·(2− i )·(14− i ) (2+ i )·(14+ i ) (2+ i )·(14− i )
986	5+31 i 19+25 i 25+19 i 31+5 i	(1+ i )·(4+ i )·(5+2 i ) (1+ i )·(4− i )·(5+2 i ) (1+ i )·(4+ i )·(5−2 i ) (1+ i )·(4− i )·(5−2 i )
997	6+31 i 31+6 i	простое простое
1000	10+30 i 18+26 i 26+18 i 30+10 i	− i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i ) 2 ·(2− i ) (1+ i ) 3 ·(2− i ) 3 −(1+ i ) 3 ·(2+ i ) 3 − i ·(1+ i ) 3 ·(2+ i )·(2− i ) 2

См. также

• Таблица делителей
• Факторизация целых чисел

Примечания

Литература

• Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М. : Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
• Dresden, Greg; Dymacek, Wayne. (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2005. — Vol. 112 , no. 7 . — P. 602–611 . — doi : . — JSTOR .
• Gethner, Ellen; Wagner, Stan; Wick, Brian. (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1998. — Vol. 105 , no. 4 . — P. 327—337 . — doi : . — JSTOR .

Ссылки

• Conrad, Keith. (англ.) . Дата обращения: 11 сентября 2013.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .