Атома́рная фу́нкция — финитное решение вида

${\displaystyle L\,y(x)=\sum _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),}$

где ${\displaystyle L}$ — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты ${\displaystyle a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R} }$ , причём ${\displaystyle |a|>1}$ .

Атомарная функция up( x )

Простейшая атомарная функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ (читается: «ап от ${\displaystyle x}$ » )  является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)}$

с носителем ${\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {up} (x)=(-1,1),}$ которое удовлетворяет условию нормировки ${\displaystyle \operatorname {up} (0)=1}$ (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно) .

Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\operatorname {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{2^{k}}},}$

где ${\displaystyle \operatorname {sinc} =\sin {x}/x}$ — sinc-функция .

Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ — чётная, возрастает на интервале ${\displaystyle [-1,\;0]}$ , убывает на интервале ${\displaystyle [0,\;1],}$ а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, ${\displaystyle \operatorname {up} (1-x)=1-\operatorname {up} (x)}$ при ${\displaystyle x\in [0,\;1]}$ . Таким образом, целочисленные сдвиги ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ образуют разбиение единицы :

${\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {up} (x-j)\equiv 1.}$

Значения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в двоично-рациональных точках вида ${\displaystyle 2^{-n}k}$ — рациональные числа . Функция ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора , однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ в ряд Фурье , ряды по полиномам Лежандра , Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов . Хорошие аппроксимативные свойства функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции h _a ( x ), совершенные сплайны

Атомарные функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ (при ${\displaystyle a>1}$ ) являются обобщением функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ . Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).}$

Таким образом, ${\displaystyle \operatorname {up} (x)\equiv \operatorname {h} _{2}(x).}$ Преобразование Фурье функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ имеет вид

${\displaystyle {\hat {\operatorname {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} {\frac {t}{a^{n}}},}$

следовательно, функции ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов ( прямоугольных функций ), ширины которых убывают в геометрической прогрессии . Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов ${\displaystyle M}$ бесконечного произведения , получим преобразование Фурье совершенных сплайнов ${\displaystyle \operatorname {h} _{a,M}(x)}$ с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

${\displaystyle {\frac {2}{a^{2}}}\operatorname {h} '_{a,M}(x)=\operatorname {h} _{a,M-1}(ax+1)-\operatorname {h} _{a,M-1}(ax-1).}$

Обобщённая теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций ${\displaystyle \operatorname {h} _{a}(x)}$ расположены регулярным образом в точках ${\displaystyle a\pi n}$ ${\displaystyle (n\neq 0)}$ . В связи с этим любую непрерывную функцию ${\displaystyle f(x)}$ с финитным спектром ${\displaystyle (\operatorname {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])}$ можно разложить в ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatorname {h} _{a}}}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(x-k\Delta )\right],}$

где ${\displaystyle a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)}$ .

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова ; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым , а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным , В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом .

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе 1971 года. Обстоятельства появления функции ${\displaystyle \operatorname {up} (x)}$ связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой : найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции .

Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе «Атомарные функции и их применение» . В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.

В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации , численном анализе , цифровой обработке сигналов , вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы .

См. также

• Функция sinc(x)
• Окно (весовая функция)
• B-сплайн
• Теорема Котельникова

Примечания

Литература

• Рвачёв В. Л. , Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка , 1979. — 196 с.
• Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R- функций и актуальные проблемы прикладной математики. — Киев: Наукова думка , 1986. — 264 с.
• Тихомиров В. М. Теория приближений // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ АН СССР , 1987. — Т. 14. — 272 с. — С. 103—260.
• Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М. : Радиотехника, 2003. — 512 с. — ISBN 5-93108-019-8 .