Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.

Определение

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество , а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология . Пусть также ${\displaystyle Y\subset X}$ . Определим ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ — семейство подмножеств ${\displaystyle Y}$ следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.}$

Несложно проверить, что ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ является топологией на ${\displaystyle Y}$ . Эта топология называется индуцированной топологией ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ . Топологическое пространство ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ называется подпростра́нством ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$ .

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть ${\displaystyle X}$ – произвольное множество, ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ – топологическое пространство и ${\displaystyle f:X\to Y}$ – произвольное отображение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ . Тогда в качестве ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ возьмем всевозможные множества вида ${\displaystyle f^{-1}}$ ( ${\displaystyle V}$ ), где ${\displaystyle V}$ – открытые множества в ${\displaystyle Y}$ . Топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ называется индуцированной отображением ${\displaystyle f}$ топологией. Она хороша тем, что отображение ${\displaystyle f}$ в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства ${\displaystyle X}$ , для которых отображение ${\displaystyle f}$ будет непрерывным.

Пример

Пусть дана вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией . Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }$ , является дискретной .