Стягиваемое пространство — топологическое пространство , гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на ${\displaystyle X}$ гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью .

Свойства

Пространство ${\displaystyle X}$ стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle x_{0}\in X}$ такое, что ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ — деформационный ретракт пространства ${\displaystyle X}$ .

Стягиваемые пространства всегда односвязны ; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в ${\displaystyle X}$ гомотопны, то ${\displaystyle X}$ — стягиваемое пространство.

Конус ${\displaystyle \mathrm {C} X}$ для данного пространства ${\displaystyle X}$ — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство ${\displaystyle X}$ может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, ${\displaystyle X}$ стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция ${\displaystyle \mathrm {C} X\to X}$ .

Примеры и контрпримеры

Стягиваемы ${\displaystyle n}$ -мерное вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — ${\displaystyle n}$ -мерный шар .

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом ${\displaystyle n}$ -мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение ${\displaystyle n}$ -мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на ${\displaystyle n+1}$ -мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие , не гомеоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ), (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга , шутовской колпак .

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература

• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М. : Мир , 1971. — С. 39—42. — 680 с.