Кодекартов квадрат (также — универсальный квадрат ) — теоретико-категорное понятие, двойственное понятию декартова квадрата . Кодекартов квадрат является частным случаем копредела .

Универсальное свойство

Пусть f : Z → X , g : Z → Y — морфизмы в категории C . Кодекартов квадрат для пары морфизмов ( f , g ) — это коммутативный квадрат следующего вида:

Более того, кодекартов квадрат является универсальным среди объектов с этим свойством. А именно, для любого объекта Q с морфизмами j ₁ , j ₂ , дополняющими f , g до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм u : P → Q , делающий следующую диаграмму коммутативной:

Объект ${\displaystyle P=X\amalg _{Z}Y}$ с морфизмами i ₁ , i ₂ называется расслоенным копроизведением ( расслоенной суммой , амальгамой , амальгамированной суммой , англ. pushout ).

Как и любые универсальные конструкции, кодекартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определён с точностью до изоморфизма.

Примеры

• В категории множеств ${\displaystyle X\amalg _{Z}Y}$ — это дизъюнктное объединение X и Y , в котором отождествлены элементы с общим прообразом в Z . Более точно, ${\displaystyle X\amalg _{Z}Y=X\amalg Y{\big /}\sim ,}$ где ~ — наименьшее отношение эквивалентности , такое что i ₁ ∘ f ( z ) ~ i ₂ ∘ g ( z ) .

• Конструкция является примером построения расслоенных копроизведений в категории топологических пространств . Более подробно, если Z — подпространство Y и g : Z → Y — соответствующее , то можно «склеить» Y с X по Z , используя «отображение соответствия» f : Z → X . Получившееся в результате склеенное пространство ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$ является расслоенным копроизведением X и Y .

• В категории абелевых групп о кодекартовом квадрате можно говорить как о прямой сумме абелевых групп «со склейкой». А именно, если f и g — гомоморфизмы с общим источником Z , кодекартов квадрат является факторгруппой прямой суммы по подгруппе, порождённой всеми элементами вида ( f ( z ), − g ( z )) . Примерно то же самое можно проделать в категории модулей .

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М. : Мир , 1983. — 488 с.
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .