Последовательность Майера — Вьеториса — естественная длинная точная последовательность , связывающая гомологии пространства с гомологиями двух покрывающих его открытых множеств и их пересечения.

Последовательность Майера — Вьеториса можно написать для различных теорий гомологий , в том числе сингулярных , а также для всех теорий, удовлетворяющих аксиомам Стинрода — Эйленберга .

Названа в честь двух австрийских математиков, Вальтера Майера и Леопольда Вьеториса .

Формулировка

Предположим, топологическое пространство ${\displaystyle X}$ представляется как объединение открытых подмножеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ . Последовательность Майера — Вьеториса:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}}$

Здесь отображения ${\displaystyle i\colon A\cap B\to A}$ , ${\displaystyle j\colon A\cap B\to B}$ , ${\displaystyle k\colon A\to X}$ , ${\displaystyle l\colon B\to X}$ — отображения включения, и ${\displaystyle \oplus }$ обозначает прямую сумму абелевых групп.

Отображение границы ${\displaystyle \partial _{*}}$ , понижающее размерность, может быть определено следующим образом. Элемент в ${\displaystyle H_{n}(X)}$ представляется ${\displaystyle n}$ -циклом ${\displaystyle x}$ , который может быть записан как сумма двух ${\displaystyle n}$ -цепей ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ , образы которых лежат полностью в ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , соответственно. Этого можно добиться, применив к ${\displaystyle x}$ барицентрическое подразделение несколько раз.

Таким образом, ${\displaystyle \partial x=\partial u+\partial v=0}$ , так что ${\displaystyle \partial u=-\partial v}$ . Заметим, что обе границы ${\displaystyle \partial u}$ и ${\displaystyle \partial v}$ лежат в ${\displaystyle A\cap B}$ . Тогда ${\displaystyle \partial _{*}[x]}$ определяется как класс ${\displaystyle [\partial u]\in H_{n-1}(A\cap B)}$ . При этом выбор разложения ${\displaystyle x=u+v}$ не влияет на значение ${\displaystyle [\partial u]}$ .

Замечания

• Отображения в последовательности зависят от выбора порядка для ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ .
  • В частности, отображение границы меняет знак, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ меняются местами.

Приложения

Гомологии сферы

Чтобы вычислить гомологии k -мерной сферы , представим сферу ${\displaystyle S^{k}}$ как объединение двух k -мерных дисков ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с пересечением, гомотопически эквивалентным ${\displaystyle (k-1)}$ -мерной экваториальной сфере ${\displaystyle S^{k-1}}$ . Поскольку ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ стягиваемы, из последовательности Майера — Вьеториса следует точность последовательностей

${\displaystyle 0\rightarrow H_{n}(S^{k}){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(S^{k-1})\rightarrow 0}$

при ${\displaystyle n\geqslant 1}$ . Точность сразу влечёт, что гомоморфизм ∂ _* является изоморфизмом при ${\displaystyle n\geqslant 1}$ . Следовательно,

${\displaystyle H_{n}(S^{k})\cong \mathbb {Z} }$ , если ${\displaystyle n=k,0}$ ,

иначе ${\displaystyle H_{n}(S^{k})\cong 0}$

Бутылка Клейна

Для вычисления гомологий бутылки Клейна представим её, как объединение двух лент Мебиуса ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , склеенных вдоль их граничной окружности. Тогда ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и их пересечение ${\displaystyle A\cap B}$ гомотопически эквивалентны окружности.  Нетривиальная часть последовательности дает

${\displaystyle 0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow \,\mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\alpha }}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,H_{1}(X)\rightarrow 0}$

Тривиальная часть влечёт обнуление гомологий в размерностях 3 и выше. Заметим, что ${\displaystyle \alpha (1)=(2,2)}$ , поскольку граничная окружность листа Мёбиуса оборачивается дважды вокруг его средней линии. В частности, ${\displaystyle \alpha (1)}$ инъективен . Следовательно, ${\displaystyle H_{2}(X)=0}$ . Выбирая базис (1, 0) и (1, 1) в ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ , получаем

${\displaystyle {H}_{1}\left(X\right)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}}$

Вариации и обобщения

• Редуцированные гомологии также удовлетворяют последовательности Майера — Вьеториса в предположении, что ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ имеют непустое пересечение. Эта последовательность идентична обычной, но заканчивается следующим образом:

  ${\displaystyle \cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\rightarrow \,0.}$

• Для относительных гомологий последовательность выглядит следующим образом:

  ${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\rightarrow \cdots }$

См. также

• Теорема ван Кампена