Группа Коксетера — группа , порождённая отражениями в гранях ${\displaystyle n}$ -мерного многогранника , у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от ${\displaystyle \pi }$ (то есть равен ${\displaystyle \pi /k}$ для некоторого целого ${\displaystyle k}$ ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера . Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве , на сфере , а также в пространстве Лобачевского .

Примеры

• Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.
• Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности ${\displaystyle n}$ :
  • ${\displaystyle n}$ -мерный куб произвольной размерности.
  • ${\displaystyle n}$ -мерный симплекс, образованный точками с координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ такими, что ${\displaystyle 0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1}$ .
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности ${\displaystyle n}$ :
  • правильный ${\displaystyle n}$ -мерный симплекс со стороной ${\displaystyle \pi /2}$ .
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный ${\displaystyle k}$ -многоугольник с углом ${\displaystyle \pi /m}$ .
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности ${\displaystyle 3}$ .
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности ${\displaystyle 4}$ .

Свойства

• Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина .
• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство .
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы .
• Теорема Винберга. В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми .
• Обозначим через ${\displaystyle \{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}}$ отражения в гранях многогранника, и пусть ${\displaystyle \pi /m_{ij}}$ есть двугранный угол между гранями ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ . Положим ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ , если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и ${\displaystyle m_{ii}=1}$ . Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания :

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$ ,

где ${\displaystyle m_{ii}=1}$ и ${\displaystyle m_{ij}\geqslant 2}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ .

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Примечания

Литература

• H. S. M. Coxeter. (англ.) // Annals of Mathematics . — 1934. — Vol. 35 . — P. 588—621 . — doi : . JSTOR