Interested Article - Правило Лопиталя

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли Лопиталя ) — метод нахождения пределов функций , раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных .

Точная формулировка

Теорема Лопиталя:

Если: — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности точки , где — действительное число или один из символов , причём

  1. или ;
  2. в ;
  3. существует ;

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя . Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли .

Примеры


  • Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:
  • — применение правила раз;
  • при ;
  • .

Контрпример

В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример :

отношение имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

Следствие

Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция дифференцируема в проколотой окрестности точки , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной . Тогда функция дифференцируема и в самой точке , и (то есть, производная непрерывна в точке ).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению .

См. также

Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца .

Примечания

  1. . Дата обращения: 14 декабря 2010. 6 февраля 2009 года.
  2. , с. 314—316.
  3. Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , p.216
  4. на YouTube

Литература

Источник —

Same as Правило Лопиталя