Лемма Либермана — основной инструмент изучения внутренней метрики .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K}$ есть выпуклое тело в евклидовом пространстве, и ${\displaystyle p\in K}$ . Предположим ${\displaystyle \gamma }$ есть кратчайшая на поверхности ${\displaystyle K}$ . Рассмотрим конус ${\displaystyle L}$ с вершиной в p над ${\displaystyle \gamma }$ , то есть множество всех точек типа ${\displaystyle p+\lambda \cdot (\gamma (t)-p)}$ , ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ . Пусть ${\displaystyle \sigma :L\to \mathbb {R} ^{2}}$ есть изометрическое вложение тогда ${\displaystyle \sigma \circ \gamma }$ образует выпуклую кривую на плоскости.

Литература

• Либерман, И. М. «Геодезические линии на выпуклых поверхностях». ДАН СССР . 32.2. (1941), 310—313.
• Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М. : Наука, 1969. — 760 с. , Глава II, Теорема 4.