Число Коксетера — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера . В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , то говорят о числе Коксетера алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ .

Понятие названо в честь Гарольда Коксетера .

Определение

Существует несколько эквивалентных определений этого числа.

• Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n ( h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера.
• Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера ) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера.
• Если ${\displaystyle \theta =\sum m_{i}\alpha _{i}}$ — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно ${\displaystyle 1+\sum m_{i}}$ .
  • Эквивалентно, если ${\displaystyle \rho ^{\vee }}$ — такой элемент, что ${\displaystyle \langle \rho ^{\vee },\alpha _{i}\rangle =1}$ , то ${\displaystyle h=\langle \rho ^{\vee },\theta \rangle +1}$ .
• Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.

Таблица значений

Группа Коксетера и символ Шлефли		Граф Коксетера	Диаграмма Дынкина	Число Коксетера ${\displaystyle h}$	Двойственное число Коксетера ${\displaystyle h^{\vee }}$	Степени базисных инвариантов
A n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2 n	2 n − 1	2, 4, 6, ..., 2 n
C n			...		n + 1
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2 n − 2	2 n − 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F 4	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G 2	[6]			6	4	2, 6
H 3	[5,3]		-	10		2, 6, 10
H 4	[5,3,3]		-	30		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	p		2, p

Вариации и обобщения

Дуальное число Коксетера

В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера ${\displaystyle h^{\vee }}$ . Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года и часто встречается в теории представлений . Определить это число можно любым из следующих способов.

• Если ${\displaystyle \rho }$ — это полусумма положительных корней, а ${\displaystyle \theta }$ — это старший корень, то ${\displaystyle h^{\vee }=\langle \rho ,\theta \rangle +1}$ .
• Если ${\displaystyle \theta _{m}=\sum m_{i}\alpha _{i}}$ — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то ${\displaystyle h^{\vee }=\sum m_{i}+1}$ .
• Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ : формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2.
• По таблице выше.

Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.

Для ${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}}$ значение уровня, равное ${\displaystyle -h^{\vee }}$ , называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.

Примечания

Ссылки

• Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.
• J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
• Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960