Если дано топологическое пространство и группа действий на нём, образы отдельной точки под действием группы действий образуют орбиты действий. Фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит в точности по одной точке из каждой орбиты. Она даёт геометрическую реализацию абстрактного множества представителей орбит.

Существует множество способов выбора фундаментальной области. Обычно требуется, чтобы фундаментальная область была связным подмножеством с некоторыми ограничениями на границы, например, чтобы они были гладкими или многогранными. Образы выбранной фундаментальной области при действии группы образуют мозаику в пространстве. Одно из основных построений фундаментальных областей опирается на диаграммы Вороного .

Намётки на общее определение

Если задано действие группы G на топологическом пространстве X посредством гомеоморфизмов , фундаментальная область для таких действий — это множество D представителей орбит. Обычно требуется, чтобы это множество было топологически простым и задавалось одним из нескольких конкретных способов. Обычное условие — чтобы D было почти открытым множеством в том смысле, что D должно быть симметрической разностью открытого множества в G с множеством нулевой меры для некоторой (квази)инвариантной меры на X . Фундаментальная область всегда содержит U , открытое множество , которое передвигается действием G в несвязные копии и почти так же, как D , представляет орбиты. Часто требуется, чтобы D было полным множеством представителей смежных классов с некоторыми повторениями, но чтобы повторяющаяся часть имела нулевую меру. Это обычная ситуация в эргодических теориях . Если фундаментальная область используется для вычисления интеграла на X / G , множество нулевой меры роли не играет.

Например, если X является евклидовым пространством R ⁿ размерности n и G — решётка Z ⁿ , действующая на ней как параллельный перенос , факторпространством X / G будет n -мерный тор . Можно взять в качестве фундаментальной области D [0,1) ⁿ , что отличается от открытого множества (0,1) ⁿ на множество нулевой меры, или замкнутый единичный куб [0,1] ⁿ , граница которого состоит из точек, орбиты которых имеют более одного представителя в D .

Примеры

Примеры в трёхмерном евклидовом пространстве R ³ .

• для n -кратного вращения: орбита состоит либо из n точек вокруг оси, либо единственной точки на оси; фундаментальная область — сектор
• для зеркального отражения относительно плоскости: орбита состоит либо из двух точек, по одной по разным сторонам от плоскости, либо из единственной точки на плоскости; фундаментальная область — полупространство, ограниченное этой плоскостью
• для центральной симметрии: орбита состоит из двух точек по разные стороны от центра, за исключением единственной орбиты самого центра; фундаментальная область — любое полупространство, ограниченное плоскостью, проходящей через центр
• для вращения на 180° относительно оси: орбита состоит либо из двух точек, находящихся на противоположных сторонах от прямой, либо из единственной точки на самой прямой; фундаментальная область — любое полупространство, ограниченное плоскостью, проходящей через ось симметрии
• для дискретного параллельного переноса в одном направлении: орбиты образуют одномерную решётку в направлении вектора переноса; фундаментальная область — бесконечная область между двумя параллельными плоскостями
• для дискретного параллельного переноса в двух направлениях: орбиты образуют двумерную решётку в направлениях векторов переноса; фундаментальная область имеет в сечении параллелограмм
• для дискретного параллельного переноса в трёх направлениях: орбиты образуют решётку; фундаментальная область — элементарная ячейка , которая является, например, параллелепипедом , или ячейкой Вигнера — Зейтца , которая называется также ячейкой/ диаграммой Вороного .

В случае, когда параллельный перенос комбинируется с другими типами симметрий, фундаментальной областью будет часть элементарной ячейки. Например, для фундаментальная область в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше примитивной ячейки.

Фундаментальная область модулярной группы

Диаграмма справа показывает часть построения фундаментальной области для действия модулярной группы Γ на верхней полуплоскости H (здесь под верхней полуплоскостью понимается часть комплексной плоскости с положительным коэффициентом при i ).

Эта знаменитая диаграмма появляется во всех классических книгах по модулярным функциям . (Возможно, она была хорошо известна Гауссу , который занимался фундаментальными областями при изучении приведения квадратичных форм.) Здесь каждая треугольная область (ограниченная синими линиями) является действий Γ на H . Границы (синие линии) не являются частями свободных регулярных множеств. Для построения фундаментальной области H /Γ нужно определиться, как назначать точки на границах, и нужно быть осторожным, чтобы не включать эти точки дважды. Так, свободное регулярное множество для данного примера —

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}.}$

Фундаментальная область строится добавлением левой границы, плюс половина дуга снизу, включая среднюю точку:

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,{\mbox{Re}}(z)={\frac {-1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,{\frac {-1}{2}}<{\mbox{Re}}(z)\leq 0\right\}.}$

Выбор, какие точки включать, меняется от автора к автору.

Основная трудность при определении фундаментальной области не лежит непосредственно в определении множества, но, скорее, в том, как работать с интегралами по фундаментальной области, когда подынтегральные функции имеют полюсы и нули на границе области.

См. также

• Зона Бриллюэна

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .