Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа ) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям.

Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C : V → V . Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов.

Обычно обозначается GL( V ) .

Полная линейная группа порядка n — это группа обратимых матриц порядка n (то есть квадратных матриц с n строками и n столбцами) . Роль групповой операции играет обычное умножение матриц.

Обычно обозначается GL( n ) . Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: GL( n , K ) или GL _n ( K ) .

Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами , полная линейная группа порядка n обозначается GL( n , R ) , а если над комплексными числами , то GL( n , C ) .

Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве K ⁿ (то есть пространстве n -мерных столбцов с элементами из K ). Поэтому GL( n , R )  =  GL( R ⁿ ) и GL( n , C )  =  GL( C ⁿ ) .

Во-вторых, введение базиса в n -мерном векторном пространстве V над полем скаляров K позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору C : V → V его матрицу — квадратную матрицу порядка n из компонент оператора C в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица , и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами GL( V ) и GL( n , K ) (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп).

Свойства

Если V — векторное пространство над полем скаляров K , то полная линейная группа пространства V представляет собой группу всех автоморфизмов пространства V . Группу GL( V ) и её подгруппы называют линейными группами .

В полной линейной группе GL( n , K ) можно выделить подгруппу SL( n , K ) , состоящую из всех матриц с определителем, равным 1. Это — специальная линейная группа порядка n , обозначаемая SL( n , K ) .

Другие важные подгруппы группы GL( n , K ) :

• Диагональная группа — группа D( n , K ) , состоящая из всех диагональных матриц порядка n ;
• Треугольная группа — группа T( n , K ) , состоящая из невырожденных верхних треугольных матриц порядка n (то есть матриц, у которых все элементы под главной диагональю нулевые);
• Унитреугольная группа — группа UT( n , K ) , состоящая из тех верхних треугольных матриц порядка n , у которых диагональные элементы равны 1.

Группу GL( n , K ) и её подгруппы часто называют матричными группами (заметьте, что их можно именовать и линейными группами , а вот группа GL( V ) — линейная, но не матричная).

В частности, подгруппами группы GL( n , R ) являются специальная линейная группа SL( n , R ) , ортогональная группа O( n ) , специальная ортогональная группа SO( n ) и др.

Подгруппами группы GL( n , C ) являются специальная линейная группа SL( n , C ) , унитарная группа U( n ) , специальная унитарная группа SU( n ) порядка n и др.

Полные линейные группы GL( n , R ) и GL( n , C ) (как и перечисленные в двух предыдущих абзацах их основные подгруппы) являются группами Ли . Эти группы важны в теории представлений групп ; возникают они и при изучении различного рода симметрий .

Заметим ещё, что при n = 1  группа GL( n , K ) фактически сводится к группе ( K ^* , •) ненулевых скаляров поля K (обе группы канонически изоморфны) и поэтому является абелевой (коммутативной). При n , большем 1, группы GL( n , K ) абелевыми не являются.

Примечания

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М. : Наука, 1977. — 496 с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М. : Наука, 1986. — 304 с.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М. : Наука, 1972. — 240 с.

См. также

• Проективная группа