Interested Article - Функции Бриллюэна и Ланжевена

Функции Бриллюэна и Ланжевена представляют собой пару специальных функций , которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике .

Функция Бриллюэна

Функция Бриллюэна - это специальная функция, которая определяется следующим уравнением:

Функция обычно применяется (см. ниже) в контексте, где х является действительной переменной и J является положительным целым или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, достигая +1, при и -1 при .

Функция чаще всего применяется при расчете намагниченности идеального парамагнетика . В частности, она описывает зависимость намагниченности от приложенного магнитного поля и полного углового момента J состоящего из микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность дается формулой:

где

  • - число атомов в единице объема,
  • - g-фактор ,
  • - магнетон Бора ,
  • - отношение Зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии :
- постоянная Больцмана и температура.

Отметим, что в системе единиц Си индукция магнитного поля измеряется в теслах , , где напряженность магнитного поля в А/м и - проницаемость вакуума .

Функция Ланжевена

В классическом пределе, моменты могут непрерывно выстроиться по полю и может принимать все значения ( ). В этом пределе функция Бриллюэна превращается в функцию Ланжевена, названную в честь Поля Ланжевена :

Для малых значений x , функция Ланжевена может быть разложена в ряд Тейлора :

Альтернативная аппроксимация может быть получена из непрерывной дроби Ламберта разложения tanh( x ) :

При достаточно малых x , обе аппроксимации численно лучше, чем прямая оценка аналитического выражения, поскольку последняя страдает от потери значимости.

Высокотемпературный предел

При т. е. когда мало, намагниченность можно аппроксимировать законом Кюри :

где - константа. Можно отметить, что - эффективное число магнетонов Бора.

Предел высоких полей

При функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается и магнитные моменты полностью выстраиваются по направлению приложенного поля:

Ссылки

  1. Ч. Киттель . Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — С. 522
  2. Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization (англ.) // (англ.) : journal. — 1967. — Vol. 18 , no. 10 . — P. 1415—1417 . — doi : . — Bibcode : .
Источник —

Same as Функции Бриллюэна и Ланжевена