Смотрите также:
Таблица делителей
(простые и составные делители чисел от 1 до 1000).
Свойства
Многие свойства натурального числа
n
можно увидеть или непосредственно вычислить из факторизации
n.
Степень
m
, в которой простое число
p
входит в факторизацию числа
n
- это наибольшее число, для которого
n
делится на
p
m
. Для простых чисел, не входящих в факторизацию, полагают эту степень равной 0.
Омега-функция (Ω(
n
)) - это сумма всех степеней, в которых простые числа входят в разложение
n
. Например, для 24 = 2
3
× 3
1
, Ω(24) = 3 + 1 = 4.
Составные числа
имеют Ω(
n
) > 1. Первые: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 последовательность в
OEIS
. Все числа больше единицы простые или составные.
Полупростые числа
имеют Ω(
n
) = 2 (т.е. они составные). Первые: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34 последовательность в
OEIS
.
m
-
делитель
n
(также говорят,
m
делит
n
, или
n
кратно
m
), если все простые числа входят в факторизацию
m
в степени, не большей чем степень, в которой они входят в факторизацию
n
.
Чётные числа
имеют простой делитель 2. Первые: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 последовательность в
OEIS
.
Нечётные числа
, наоборот, не имеют простого делителя 2. Первые: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 последовательность в
OEIS
. Все
целые числа
чётные или нечётные.
В факторизацию
квадрата
все простые делители входят в чётной степени. Первые: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 последовательность в
OEIS
.
В факторизацию
куба
все простые делители входят в степени, делящейся на 3. Первые: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728 последовательность в
OEIS
.
В факторизацию
полнократных чисел
все простые делители входят в степени, большей единицы. Первые: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72 последовательность в
OEIS
.
Степени простых числа
имеют только один простой делитель. Первые: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 последовательность в
OEIS
.
В факторизации
бесквадратных чисел
нет простых чисел в степени, большей 1. Первые: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 последовательность в
OEIS
).
Функция Мёбиуса
μ(
n
) равна 0, если
n
- не бесквадратное число. Иначе, μ(
n
) = 1, если Ω(
n
) чётно, и μ(n) = −1, если Ω(
n
) нечётно.
Сфенические числа
бесквадратны и имеют Ω(
n
) = 3, т.е. они являются произведениями трёх различных простых чисел. Первые: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154 последовательность в
OEIS
.
Праймориал
x
# - это произведение всех простых чисел от 2 до
x
. Первые: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 последовательность в
OEIS
. 1# = 1.
Факториал
x
! - это произведение всех целых чисел от 1 до
x
. Первые: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600 последовательность в
OEIS
. 0! = 1.
k
-
гладкие числа
(для натурального
k
) имеют наибольший простой делитель ≤
k,
т.е. это также
j
-гладкие числа для любого
j
> k).
m
более гладкое
чем
n
, если наибольший простой делитель
m
меньше, чем наибольший простой делитель
n
.
У
регулярных чисел
нет простых делителей больше 5 (5-гладкие числа). Первые: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16 последовательность в
OEIS
.
НОД(
m
,
n
) (
наибольший общий делитель
m
и
n
) - это произведение всех простых чисел, которые входят в факторизацию как
m
, так и
n
(причём в степени, наименьшей из
m
и
n
).
m
и
n
взаимнопросты
, если НОД(
m
,
n
) = 1, т.е. у них нет общий простых делителей.
НОК(
m
,
n
) (
наименьшее общее кратное
m
и
n
) - это произведение всех простых делителей
m
или
n
(причём в степени, наибольшей из
m
и
n
).
НОК(
m
,
n
) × НОД(
m
,
n
) =
m
×
n
. Нахождение простых делителей часто сложнее, чем вычислять НОК и НОД алгоритмами, не требующими знание факторизации этих чисел.