Задача Робена , задача Ньютона , третья краевая задача , задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений . Названа в честь французского математика и британского физика Исаака Ньютона .

Постановка задачи

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

${\displaystyle Lu=f(\mathbf {x} )}$ в области ${\displaystyle \Omega }$

При граничных условиях следующего вида:

${\displaystyle \left.\left(au+b{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}\right)\right|_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} )}$

Такая задача называется третьей краевой задачей .

Физическая интерпретация

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

• Для уравнения теплопроводности задаются в виде ${\displaystyle -\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (u-u_{\beta }(\mathbf {x} ))}$ — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана .
• Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла , задаётся в похожем виде ${\displaystyle -\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}=\beta (E-u_{\beta }(\mathbf {x} ))}$ (если уравнение относительно напряжённости электрического поля ) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
• Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи ${\displaystyle \mathbf {H} =\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E} }$ , можно следующим образом :

${\displaystyle -\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} =Q(\mathbf {E} \times \mathbf {n} +\sigma (\mathbf {H} \times \mathbf {n} )\times \mathbf {n} )+\mathbf {g} =0}$

Аналитическое решение

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала .

Численное решение

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

• В методе конечных разностей строится разностная схема вида ${\displaystyle au_{i}+Ru_{i}=g(\mathbf {x} _{i})}$ , где ${\displaystyle R}$ — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
• В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части :

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta \varphi _{i}(\mathbf {x} )\varphi _{j}(\mathbf {x} )dx}}$ — добавка в ${\displaystyle i}$ -й, ${\displaystyle j}$ -й элемент матрицы;

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }{\beta u_{\beta }(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}}$ — добавка в ${\displaystyle i}$ -й элемент правой части.

См. также

• Задача Дирихле
• Задача Неймана

Примечания