Признак Раабе ( признак Раабе — Дюамеля ) — признак сходимости знакоположительных числовых рядов , установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе ( Joseph Ludwig Raabe ) и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем .

Формулировка

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, если при достаточно больших ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство

${\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,}$

где ${\displaystyle r>1}$ .

Eсли ${\displaystyle R_{n}\leqslant 1}$ , начиная с некоторого ${\displaystyle n}$ , то ряд ${\displaystyle a_{n}}$ расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }R_{n}}$

то при ${\displaystyle R>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle R<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle R=1}$ , то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении признака сравнения отношений при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

Пример

Для ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}}$ признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

См. также

• Признак сходимости д’Аламбера — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

Примечания

Литература

• Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. — М. : Высшая школа , 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4 . .
• И. М. Виноградов. Раабе признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Добавить иллюстрации . Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.