Рассмотрим интеграл ${\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt}$ для некоторых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a;b)}$ (не ограничивая общности будем считать ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ ). Так как ${\displaystyle g(t)}$ монотонна на ${\displaystyle [x_{1};x_{2}]}$ , она на нём интегрируема, а значит, и ${\displaystyle f(t)g(t)}$ интегрируема на ${\displaystyle [x_{1};x_{2}]}$ как произведение интегрируемых функций.

${\displaystyle f(t)}$ — интегрируема, ${\displaystyle g(t)}$ — монотонна. Условия второй теоремы о среднем выполнены и существует такая точка ${\displaystyle \xi \in [x_{1};x_{2}]}$ , что

${\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt=g(x_{1})\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt}$ .

Функция ${\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\,dt}$ ограничена на ${\displaystyle [a;b)}$ , а значит, есть ${\displaystyle M\geq 0}$ такой, что ${\displaystyle \left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|\leq M}$ , ${\displaystyle \left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq M}$ . Тогда:

${\displaystyle \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|=\left|g(x_{1})\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt+g(x_{2})\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|\left|\int \limits _{x_{1}}^{\xi }f(t)\,dt\right|+|g(x_{2})|\left|\int \limits _{\xi }^{x_{2}}f(t)\,dt\right|\leq |g(x_{1})|M+|g(x_{2})|M=M(|g(x_{1})|+|g(x_{2})|)}$

${\displaystyle g(x)}$ мотонно стремится к нулю, следовательно, она ограничена с одной стороны ${\displaystyle g(a)}$ , а с другой ${\displaystyle 0}$ . Тогда ${\displaystyle |g(x_{2})|\leq |g(x_{1})|}$ и

${\displaystyle \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1})|}$ .

${\displaystyle g(x)\to 0}$ , что по определению означает

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\colon |g(x)|<\varepsilon }$

Тогда ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b)}$ ( ${\displaystyle x_{1}}$ берём меньше или равно ${\displaystyle x_{2}}$ )

${\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t)g(t)\,dt\leq 2M|g(x_{1})|<2M\varepsilon }$ ,

что есть не что иное, как критерий Коши сходимости несобственного интеграла.

Доказательство почти идентично случаю интеграла без параметра. Фиксируем ${\displaystyle y\in Y}$ и далее рассматриваем функции ${\displaystyle f(x,y)}$ и ${\displaystyle g(x,y)}$ как функции одной переменной ${\displaystyle x}$ . Для них делаем всё то же, что и в доказательстве для интегралов без параметра, за исключением того, что ${\displaystyle M}$ берём одинаковый для всех ${\displaystyle y\in Y}$ (это возможно сделать по вполне ограниченности). Приходим к

${\displaystyle \left|\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\right|\leq 2M|g(x_{1},y)|}$ .

${\displaystyle g(x,y)}$ — равномерно стремится к нулю. Запишем определение равномерной сходимости:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta \in [a;b)\ \forall x\in (\delta ;b)\forall y\in Y\colon |g(x,y)|<\varepsilon }$

Тогда ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in (\delta ;b),x_{1}<x_{2},\forall y\in Y}$

${\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(t,y)g(t,y)\,dt\leq 2M|g(x_{1},y)|<2M\varepsilon }$ .

Пришли к критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.