Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат , которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

Определение

Зависящая от времени корреляция двух случайных функций ${\displaystyle X(t)}$ и ${\displaystyle Y(t)}$ определяется как:

${\displaystyle C(t,t^{\prime })=\langle X(t)Y(t^{\prime })\rangle }$

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной :

${\displaystyle C_{auto}(t,t^{\prime })=\langle X(t)X(t^{\prime })\rangle }$ .

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

${\displaystyle C(t,\mathbf {r} ,t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })=\langle X(t,\mathbf {r} )Y(t^{\prime },\mathbf {r} ^{\prime })\rangle }$ .

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы .

Корреляционная функция в статфизике

В статистической физике корреляционная функция описывает, как микроскопические переменные (например, скорости движения атомов ) связаны в различных точках пространства в различные моменты времени. Наиболее общее определение имеет следующий вид:

${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle }$

где ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ — функции , корреляции которых мы хотим изучить, угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю (например, по каноническому ).

Одновременные корреляционные функции

Если мы интересуемся тем, скореллировано ли меняются микроскопические переменные в один и тот же момент времени в различных точках пространства , мы можем рассматривать функции ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ в один и тот же момент времени, тогда их корреляционная функция запишется в виде:

${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\right)\right\rangle }$

такая корреляционная функция называется одновременной .

Аналогично можно ввести одновременную корреляционную функцию для случая, когда функций ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ не две, а s штук:

${\displaystyle G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle }$

Пространственные корреляционные функции

Иногда требуется рассмотреть временную эволюцию микроскопических переменных. Для этого используется пространственная корреляционная функция :

${\displaystyle G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle }$

При этом важно понимать, что несмотря на то, что в равновесии некоторые макроскопические переменные не зависят от времени, микроскопические переменные (такие, как, например, вектор скорости частицы) могут зависеть от времени и поэтому подобные корреляционные функции, являющиеся по сути макроскопическими величинами, тоже могут зависеть от времени.

Примеры

Одним из примеров корреляционных функций может служить радиальная функция распределения .

Магнетизм

Ещё одним классическим примером корреляционных функций может служить таковая в системе спинов , где она описывает их среднее по ансамблю скалярное произведение :

${\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle }$ где S — спин частицы, скобки обозначают усреднение по ансамблю .

Даже в парамагнитной фазе спины скоррелированы, так как если расстояние между ними мало, то между спинами имеет место взаимодействие, которое и приводит к тому, что спины являются скоррелированными, однако их дальнейшему упорядочиванию препятствует тепловое движение . Поэтому оказывается, что корреляции между спинами экспоненциально уменьшаются с ростом расстояния между ними:

${\displaystyle G\left(\mathbf {r} \right)\approx {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta }}}\exp \left({\frac {-\mathbf {r} }{\xi }}\right))}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — расстояние между спинами, d — размерность , ${\displaystyle \eta }$ — т. н. критический индекс . При снижении температуры тепловое движение ослабевает, и радиус корреляции ${\displaystyle \xi }$ стремится к бесконечности:

${\displaystyle \xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }}$

где ${\displaystyle \nu }$ — другой критический индекс , ${\displaystyle T_{c}}$ — температура Кюри .

Как следствие данной формулы, в таких системах возникает фазовый переход 2-го рода.

Корреляционная функция плотности числа частиц порядка s

В частности, в качестве примера можно рассмотреть корреляционную функцию плотности числа частиц порядка s - это функция вида

${\displaystyle G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle }$

где величина

${\displaystyle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}$

называется микроскопической плотностью числа частиц в том смысле, что интегрируя её по некому объёму V , мы можем найти число частиц в нём:

${\displaystyle \int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}}$

В случае s = 2 корреляционная функция плотности числа частиц называется парной.

Связная корреляционная функция плотности числа частиц

Также вводится понятие связной корреляционной функции плотности числа частиц : это такая корреляционная функция, которая стремится к 0, если частицы разделить на 2 группы ${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s}$ после чего устремить разделяющее эти группы расстояние к бесконечности. Термин «связная» означает, что диаграммное разложение для такой корреляционной функции содержит только связные диаграммы.

Имеет место т. н. принцип ослабления корреляций : многочастичные функции распределения классической системы распадаются на произведения многочастичных функций распределения с меньшим числом аргументов при безграничном увеличении разностей соответствующих аргументов , из которого, в частности, следует:

${\displaystyle G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

Следовательно, можно написать следующее выражение для двучастичной связной корреляционной функции плотности числа частиц:

${\displaystyle G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)}$

Аналогично вводятся связные корреляционные функции плотности более высокого порядка числа частиц:

${\displaystyle G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)=G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

Производящий функционал

Для корреляционных функций плотности числа частиц может быть построен производящий функционал :

${\displaystyle G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle }$

Тогда корреляционная функция плотности вводится как вариационная производная от производящего функционала:

${\displaystyle G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1}} ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s}} \right)}}\right|_{a=0}}$

Аналогично может быть введена связная корреляционная функция:

${\displaystyle G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}}$

где

${\displaystyle W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)}$

Физический смысл

Корреляционная функция является мерой упорядоченности системы. Она показывает, как микроскопические переменные коррелируют в различные моменты времени в различных точках в среднем.

Физический смысл корреляционной функции плотности числа частиц состоит в том, что она показывает плотность вероятности относительного расположения s частиц. Появление корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами, за счет которого возникает ближний порядок .

Важно отметить, что имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle }$

где ${\displaystyle \delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle }$ есть флуктуация плотности. Таким образом, связная корреляционная функция плотности числа частиц описывает флуктуации плотности вероятности относительного расположения частиц.

Помимо этого, корреляционные функции в самом общем виде могут использоваться для нахождения прочих флуктуаций, например, флуктуаций числа частиц и температуры.

Корреляционная функция в квантовой теории поля

В квантовой теории поля вводится определение n-точечной корреляционной функции через произведение n хронологически упорядоченных полей : ${\displaystyle C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]}}}}$

где ${\displaystyle T}$ — Оператор хронологического упорядочивания , ${\displaystyle S}$ — действие .

Корреляционную функцию также часто называют просто коррелятором .

Корреляционная функция в физике высоких энергий

В физике высоких энергий корреляционная функция есть мера корреляции между некоторыми наблюдаемыми величинами . При изучении адрон -адронных столкновений (например, протон -протонных или ядерно-ядерных ) широко используется анализ корреляций между различными наблюдаемыми величинами, например, между поперечными импульсами или множественностями вторичных частиц, рождающихся в результате столкновения.

При изучении подобных процессов принято пользоваться такими переменными, как быстрота или псевдобыстрота . Обычно рассматриваются два интервала (называемых окнами ) в пространстве быстрот, расположенных по разные стороны от места столкновения встречных пучков частиц в ускорителе , поэтому возникающие при этом корреляции между наблюдаемыми величинами, которые есть функции быстроты (или псевдобыстроты ) часто называют «корреляциями вперед-назад».

Для определённости рассмотрим так называемые «корреляции множественность-множественность» где множественность есть функция, задающая число частиц, имеющих быстроту, принадлежащую некоторому заданному интервалу. В таком случае корреляционная функция вводится как зависимость средней множественности в одном (обычно — правом) быстротном интервале от множественности в другом интервале. В случае линейной корреляционной функции имеем для неё следующее выражение:

${\displaystyle {\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b}}$

Данное предположение вполне согласуется с экспериментальными данными, полученными на различных ускорителях элементарных частиц , в том числе SPS и Fermilab .Величина b из формулы выше носит название коэффициента дальних корреляций. Как следствие формулы выше, можно получить следующую формулу для коэффициента корреляций:

${\displaystyle b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}}$

Найденный таким образом коэффициент корреляций позволяет изучать физику явлений, происходящих при столкновениях адронов . В частности, отличие коэффициента корреляции от нуля может означать, что изучаемые величины (в данном случае — множественности в переднем и заднем окне) каким-то образом связаны, но при этом возникающие зависимости не обязательно имеют причинно-следственные связи .

Оценка корреляционных функций и её особенности

Оценка необходимых для расчётов корреляционных функций входных воздействий САУ производится экспериментально путем наблюдения за их реализациями в течение длительного времени Т и с расчётом по следующей формуле: ${\displaystyle r_{x}(\tau )=1/T\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt}$

Литература

• Хилл. Т. Статистическая механика, М., 1960
• Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика, М.:Наука, 1981
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993
• А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. Методы квантовой теории поля в статистической физике., М.,Физматгиз, 1962
• Ахиезер А. И., Пелетминский С. В., Методы статистической физики, М:Наука, 1977

См. также

• Корреляция
• Автокорреляционная функция
• Ковариация
• Статистическая физика
• Термодинамика
• Квантовая теория поля
• Большой адронный коллайдер

Примечания