Критерий Дарбина—Уотсона (или DW-критерий ) — статистический критерий , используемый для тестирования автокорреляции первого порядка элементов исследуемой последовательности. Наиболее часто применяется при анализе временных рядов и остатков регрессионных моделей .

Статистика Дарбина—Уотсона

Критерий назван в честь _en и _en . Критерий Дарбина—Уотсона рассчитывается по следующей формуле :

${\displaystyle {\begin{aligned}&DW={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{t}-e_{t-1})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t-1}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=\\&={\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}^{2}+\sum \limits _{t=1}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}={\frac {e_{1}^{2}+e_{T}^{2}+2\sum \limits _{t=2}^{T-1}e_{t}^{2}-2\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}\approx \\&\approx 2-2{\frac {\sum \limits _{t=2}^{T}e_{t}e_{t-1}}{\sum \limits _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}}=2(1-\rho _{1}),\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \rho _{1}}$ — коэффициент автокорреляции первого порядка.

Подразумевается, что в модели регрессии ${\displaystyle {\vec {Y}}={\boldsymbol {X}}{\vec {\beta }}+{\vec {\varepsilon }}}$ ошибки специфицированы как ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+v_{t}}$ , где ${\displaystyle v_{t}}$ распределено, как белый шум . ${\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{t})=0}$ , ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Var} } (\varepsilon _{t})={\frac {\sigma _{v}^{2}}{1-\rho ^{2}}}}$ , а ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Corr} } (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t-1})=\rho }$ , где ${\displaystyle |\rho |<1}$ .

В случае отсутствия автокорреляции ${\displaystyle DW=2}$ ; при положительной автокорреляции ${\displaystyle DW}$ стремится к нулю а при отрицательной — к 4:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}=0\Rightarrow DW=2;\\\rho _{1}=1\Rightarrow DW=0;\\\rho _{1}=-1\Rightarrow DW=4.\end{cases}}}$

На практике применение критерия Дарбина—Уотсона основано на сравнении величины ${\displaystyle DW}$ с теоретическими значениями ${\displaystyle d_{L}}$ и ${\displaystyle d_{U}}$ для заданного числа наблюдений ${\displaystyle n}$ , числа независимых переменных модели ${\displaystyle k}$ и уровня значимости ${\displaystyle \alpha }$ .

1. Если ${\displaystyle DW<d_{L}}$ , то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция);
2. Если ${\displaystyle DW>d_{U}}$ , то гипотеза не отвергается;
3. Если ${\displaystyle d_{L}<DW<d_{U}}$ , то нет достаточных оснований для принятия решений.

Когда расчётное значение ${\displaystyle DW}$ превышает 2, то с ${\displaystyle d_{L}}$ и ${\displaystyle d_{U}}$ сравнивается не сам коэффициент ${\displaystyle DW}$ , а выражение ${\displaystyle (4-DW)}$ .

Также с помощью данного критерия выявляют наличие коинтеграции между двумя временными рядами . В этом случае проверяют гипотезу о том, что фактическое значение критерия равно нулю. С помощью метода Монте-Карло были получены критические значения для заданных уровней значимости. В случае, если фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона превышает критическое, то нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции отвергают .

Недостатки

1. Неприменим к моделям авторегрессии , а также к моделям с гетероскедастичностью условной дисперсии и GARCH -моделям.
2. Не способен выявлять автокорреляцию второго и более высоких порядков.
3. Даёт достоверные результаты только для больших выборок .
4. Не подходит для моделей без свободного члена (для них статистика, аналогичная ${\displaystyle DW}$ , была рассчитана Farebrother).
5. Дисперсия коэффициентов будет расти, если ${\displaystyle v}$ имеет распределение, отличающееся от нормального .

h-критерий Дарбина

Критерий Дарбина—Уотсона неприменим для моделей авторегрессии , так как он для подобного рода моделей может принимать значение, близкое к двум, даже при наличии автокорелляции в остатках. Для этих целей используется ${\displaystyle h}$ -критерий Дарбина.

${\displaystyle h}$ -статистика Дарбина применима тогда, когда среди объясняющих регрессоров есть ${\displaystyle Y_{t-1}}$ . На первом шаге методом МНК строится регрессия. Затем критерий ${\displaystyle h}$ Дарбина применяется для выявления автокорреляции остатков в модели с распределёнными лагами :

${\displaystyle h=\left(1-{\frac {1}{2}}DW\right){\sqrt {\frac {n}{1-n\cdot \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}}},}$

где

• ${\displaystyle n}$ — число наблюдений в модели;
• ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Var} } ({\hat {\gamma }})}$ — оценка дисперсии коэффициента при лаговой результативной переменной ${\displaystyle Y_{t-1}}$ .

При увеличении объёма выборки распределение ${\displaystyle h}$ -статистики стремится к нормальному с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , равной 1. Поэтому гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отвергается, если фактическое значение ${\displaystyle h}$ -статистики оказывается больше, чем критическое значение нормального распределения .

Ограничение данной статистики следует из её формулировки: в формуле присутствует квадратный корень , следовательно, если дисперсия коэффициента при ${\displaystyle Y_{t-1}}$ велика, то процедура невыполнима.

Критерий Дарбина — Уотсона для панельных данных

Для панельных данных используется немного видоизменённый критерий Дарбина—Уотсона:

${\displaystyle dw_{p}={\dfrac {\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=2}^{T}(e_{i,\;t}-e_{i,\;t-1})^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{N}\sum \limits _{t=1}^{T}e_{i,\;t}^{2}}}.}$

В отличие от критерия Дарбина—Уотсона для временных рядов, в этом случае область неопределенности является очень узкой, в особенности для панелей с большим количеством индивидуумов .

См. также

• Тест Бройша—Годфри
• Q-тест Льюнга — Бокса

Примечания

Литература

• Anatolyev S. // Econometric Theory (Problems and Solutions). — 2002-2003.

Ссылки