Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина ${\displaystyle Y}$ называется бесконечно делимой, если для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ она может быть представлена в виде

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}}$ ,

где ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}}$ — независимые , одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция ${\displaystyle \phi _{Y}(t)}$ бесконечно делимой случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид:

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)}$ .

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения ${\displaystyle \Phi (x)}$ c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции ${\displaystyle \phi (t)}$ имел вид:

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2}}}dG(x)}$ ,

где ${\displaystyle \gamma }$ — вещественная постоянная, а ${\displaystyle G(x)}$ — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса .

Формула Леви — Хинчина

Пусть ${\displaystyle \phi (t)}$ — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ , такая что

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)}$

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши , распределение Пуассона , нормальное распределение , гамма-распределение .

• Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)}$ , где

${\displaystyle m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$

для некоторого ${\displaystyle \lambda >0}$ . Тогда случайная величина ${\displaystyle X:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ , имеющая вид

${\displaystyle X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N} }$

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

Распределение ${\displaystyle \mu }$ на локально компактной абелевой группе ${\displaystyle X}$ называется бесконечно делимым, если для каждого натурального ${\displaystyle n}$ существует элемент ${\displaystyle x_{n}\in X}$ и распределение ${\displaystyle \mu _{n}}$ на ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$ , где ${\displaystyle E_{x_{n}}}$ - вырожденное распределение, сосредоточенное в ${\displaystyle x_{n}}$ (см. , ).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона .

См. также

• Устойчивое распределение .

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.

Примечания