Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения ${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}}f(x)}$ , где числа ${\displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},b_{1},b_{2}}$ являются параметрами распределения. Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.

Свойства

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть ${\displaystyle \mu _{k}}$ является ${\displaystyle k}$ центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если ${\displaystyle a_{1}=1}$ , то

${\displaystyle a_{0}={\frac {\mu _{3}(\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}}$ ,

${\displaystyle b_{0}=-{\frac {\mu _{2}(4\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2})}{A}}}$ ,

${\displaystyle b_{1}=-{\frac {\mu _{3}(4\mu _{2}\mu _{4}+3\mu _{2}^{2})}{A}}}$ ,

${\displaystyle b_{2}=-{\frac {2\mu _{2}\mu _{4}-3\mu _{3}^{2}-6\mu _{2}^{3}}{A}}}$ ,

где ${\displaystyle A=10\mu _{4}\mu _{2}-18\mu _{2}^{3}-12\mu _{3}^{2}}$ .

Типы распределений Пирсона

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}$ различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим ${\displaystyle D=b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}}$ , ${\displaystyle \lambda ={\frac {b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}}}$ .

I тип

Распределениями Пирсона I типа являются бета - распределения. Условия: ${\displaystyle D<0}$ , ${\displaystyle \lambda <0}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(-\beta +x)b_{2}}$ , ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha ^{2m}\beta ^{2n}}{(\alpha +\beta )^{m+n+1}B(m+1,n+1)}}(\alpha +x)^{m}(\beta -x)^{n},&x\in [-\alpha ,\beta ]\\0,&x\notin [-\alpha ,\beta ]\end{cases}}}$ , где ${\displaystyle B(m+1,n+1)={\frac {\Gamma (m+1)\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+n+2)}}}$ , ${\displaystyle m>-1,n>-1}$ .

II тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями ${\displaystyle \alpha =\beta ,m=n}$ .

III тип

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: ${\displaystyle D<0}$ , ${\displaystyle \lambda =\infty }$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=2(\alpha +x)b_{1}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k^{m+1}}{\Gamma (m+1)}}(\alpha +x)^{m}e^{-k(\alpha +x)},&x>-\alpha ,k>0\\0,&x\leqslant -\alpha \end{cases}}}$ .

IV тип

Условия: ${\displaystyle D>0}$ , ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)=c(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}}$ , ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$ , ${\displaystyle m\geqslant {\frac {1}{2}}}$ , где ${\displaystyle c^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}\exp {-\nu \arctan {\frac {x}{\alpha }}}dx}$ .

V тип

Условия: ${\displaystyle D=0}$ , ${\displaystyle \lambda =1}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)^{2}b_{2}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\gamma ^{m-1}}{\Gamma {m-1}}}x^{-m}e^{-{\frac {\gamma }{x}}},&\gamma >0,m>1,x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}}$ .

VI тип

Условия: ${\displaystyle D<0}$ , ${\displaystyle \lambda >1}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha +x)(x-\beta )b_{2}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {(\alpha +\beta )^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}}(x+\alpha )^{m}(x-\beta )^{n},&x>\beta ,m-1>0,n>-1\\0,&x\leqslant \beta \end{cases}}}$ .

VII тип

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: ${\displaystyle D>0}$ , ${\displaystyle \lambda =0}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(\alpha ^{2}+x^{2})b_{2}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}(\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}}$ , ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$ , ${\displaystyle m\geqslant {\frac {1}{2}}}$ .

VIII тип

Условия: ${\displaystyle D<0}$ , ${\displaystyle \lambda <0}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],-1<m<0\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}}$ .

IX тип

Условия: ${\displaystyle D<0}$ , ${\displaystyle \lambda <0}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+\alpha )b_{2}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {m+1}{\alpha ^{m+1}}}(x+\alpha )^{m},&x\in [-\alpha ,0],m<-1\\0,&x\notin [-\alpha ,0]\end{cases}}}$ .

X тип

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: ${\displaystyle D=0}$ , ${\displaystyle \lambda =0}$ , ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}}$ , ${\displaystyle a_{1}=0}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\gamma e^{-\gamma x},&x>0,\gamma >0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}}}$

XI тип

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: ${\displaystyle D=0}$ , ${\displaystyle \lambda }$ неопределённо, ${\displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}}$ . Плотность вероятности: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}},x\in (-\infty ,\infty )}$ .

XII тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями ${\displaystyle \alpha =\beta ,m=-n}$ .

Примечания

Литература

• Королюк В.С. , , Скороход А.В. , Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М. : Наука, 1985. — 640 с.