Interested Article - Распределение Трейси — Видома

Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F ₁ , F ₂ и F ₄

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение , введённое и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы .

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами . Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок , во флуктуациях потока с шаговым начальным условием и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводов .

Распределение F ₁ особенно интересно с точки зрения .

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел

F_{\beta }(s)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\rm {Prob}}\left((\lambda _{\rm {max}}-{\sqrt {2n}})({\sqrt {2}})n^{1/6}\leq s\right){\mbox{,}}

где $\lambda _{\rm {max}}$ — наибольшее собственное число случайной матрицы $n\times n$ стандартного (для компонентов матрицы $\sigma =1/{\sqrt {2}}$ ) гауссова ансамбля : при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг ${\sqrt {2n}}$ используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель $({\sqrt {2}})n^{1/6}$ используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как $n^{-1/6}$ .

Эквивалентные представления

Кумулятивная функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей ( $\beta =2$ ) может быть представлена как

F_{2}(s)=\det(I-A_{s})

оператора $A_{s}$ на интегрируемой с квадратом функции на луче $(s,\infty )$ ядром в понятиях функций Эйри $\mathrm {Ai}$ через

{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.

Также её можно представить интегралом

F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)

через решение II

q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}

где $q$ , называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

\displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома $F_{1}$ и $F_{4}$ для ортогональных ( $\beta =1$ ) и симплектических ( $\beta =4$ ) ансамблей также выразимы через $q$ :

F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}

и

F_{4}(s/{\sqrt {2}})=\mathrm {ch} \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.

Существует расширение этого определения на случаи $F_{\beta }$ при всех $\beta >0$ .

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году (использовался MATLAB ). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены и используются для получения численного анализа Пенлеве II и рапределений Трейси — Видома (для $\beta =1,2,4$ ) в . Эти распределения были табулированы до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p -значений . В 2009 году даны точные и быстрые алгоритмы численного определения $F_{\beta }$ и функций плотности $\textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}$ для $\beta =1,2,4$ . По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение , дисперсию , асимметрию и эксцесс распределений $F_{\beta }$ .

β	Среднее	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat и в пакете для MATLAB RMLab .

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений .

Примечания

Dominici, D. (2008) Special Functions and Orthogonal Polynomials American Math. Soc.
. wired.com (27 октября 2014). Дата обращения: 30 сентября 2017. 17 июля 2017 года.
.
.
.
.
См. в , экспериментальную проверку (и подтверждение) того, что флуктуации поверхности раздела растущей капельки (или основы) описываются распределением Трейси — Видома $F_{2}$ (или $F_{1}$ ) так, как это предсказано в ( )
.
.
.
Обсуждение универсальности $F_{\beta }$ , $\beta =1,2,4$ , см. в . О приложении F ₁ к выведению популяционной структуры из генетических данных см.
; Widom, H. (1996), (PDF) , , 177 (3): 727—754, Bibcode : , doi : , MR от 20 декабря 2014 на Wayback Machine
.
.
.
↑ .
.
.
Dieng, 2006.
.

Литература

Доценко В. С. // УФН . — 2011. — Т. 181 , № 3 . — doi : .
Baik, J.; Deift, P.; Johansson, K. (1999), "On the distribution of the length of the longest increasing subsequence of random permutations", , 12 (4): 1119—1178, doi : , JSTOR , MR .
Deift, P. (2007), (PDF) , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , pp. 125—152, MR .
Johansson, K. (2000), "Shape fluctuations and random matrices", , 209 (2): 437—476, arXiv : , Bibcode : , doi : .
Johansson, K. (2002), (PDF) , Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002) , vol. 3, Beijing: Higher Ed. Press, pp. 53—62, MR .
Johnstone, I. M. (2007), (PDF) , International Congress of Mathematicians (Madrid, 2006) , European Mathematical Society , pp. 307—333, MR .
Johnstone, I. M. (2008), "Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy–Widom limits and rates of convergence", , 36 (6): 2638—2716, arXiv : , doi : , PMC , PMID .
Johnstone, I. M. (2009), "Approximate null distribution of the largest root in multivariate analysis", , 3 (4): 1616—1633, arXiv : , doi : , PMC , PMID .
Majumdar, Satya N.; Nechaev, Sergei (2005), "Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment", Physical Review E , 72 (2): 020901, 4, doi : , MR .
Patterson, N.; Price, A. L.; (2006), "Population structure and eigenanalysis", , 2 (12): e190, doi : , PMC , PMID {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (не помеченный открытым DOI) ( ссылка ) .
Prähofer, M.; Spohn, H. (2000), "Universal distributions for growing processes in 1+1 dimensions and random matrices", Physical Review Letters , 84 (21): 4882—4885, arXiv : , Bibcode : , doi : , PMID .
Takeuchi, K. A.; Sano, M. (2010), "Universal fluctuations of growing interfaces: Evidence in turbulent liquid crystals", Physical Review Letters , 104 (23): 230601, arXiv : , Bibcode : , doi : , PMID
Takeuchi, K. A.; Sano, M.; Sasamoto, T.; Spohn, H. (2011), "Growing interfaces uncover universal fluctuations behind scale invariance", , 1 : 34, arXiv : , Bibcode : , doi :
; Widom, H. (1993), "Level-spacing distributions and the Airy kernel", , 305 (1—2): 115—118, arXiv : , Bibcode : , doi : .
Tracy, C. A.; Widom, H. (1994), "Level-spacing distributions and the Airy kernel", , 159 (1): 151—174, arXiv : , Bibcode : , doi : , MR .
Tracy, C. A.; Widom, H. (2002), (PDF) , Proc. International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002) , vol. 1, Beijing: Higher Ed. Press, pp. 587—596, MR .
Tracy, C. A.; Widom, H. (2009), "Asymptotics in ASEP with step initial condition", , 290 (1): 129—154, arXiv : , Bibcode : , doi : .
Bejan, Andrei Iu. (2005), (PDF) , M.Sc. dissertation, Department of Statistics, The University of Warwick .
Bornemann, F. (2010), "On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics", Markov Processes and Related Fields , 16 (4): 803—866, arXiv : , Bibcode : .
Chiani, M. (2012), Distribution of the largest eigenvalue for real Wishart and Gaussian random matrices and a simple approximation for the Tracy–Widom distribution , arXiv : .
Edelman, A.; Persson, P.-O. (2005), Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices , arXiv : , Bibcode : .
Ramírez, J. A.; Rider, B.; Virág, B. (2006), Beta ensembles, stochastic Airy spectrum, and a diffusion , arXiv : , Bibcode : .