Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше ) — утверждение функционального анализа , согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса .

Формулировка

Пусть существуют гильбертово пространство ${\displaystyle H}$ и линейный ограниченный функционал ${\displaystyle f\in H'}$ в пространстве ${\displaystyle H}$ . Тогда существует единственный элемент ${\displaystyle y}$ пространства ${\displaystyle H}$ , такой, что для произвольного ${\displaystyle x\in H}$ выполняется ${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }$ . Кроме того, выполняется равенство: ${\displaystyle \|y\|=\|f\|}$ .

Доказательство

${\displaystyle \ker(f)}$ ядро линейного функционала является векторным подпространством ${\displaystyle H}$ .

Существование ${\displaystyle y}$

Если ${\displaystyle f\equiv 0}$ , то достаточно взять ${\displaystyle y=0}$ . Предположим, что ${\displaystyle f\neq 0}$ . Тогда ${\displaystyle \ker(f)\neq H}$ , и, следовательно, ортогональное дополнение ${\displaystyle \ker(f)^{\bot }}$ ядра ${\displaystyle f}$ не равно ${\displaystyle \{0\}}$ . Выберем произвольный ненулевой вектор ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \}}}$ . Положим ${\displaystyle y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b}$ . Мы покажем, что ${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }$ для всех ${\displaystyle x\in H}$ . Рассмотрим вектор ${\displaystyle p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b}$ . Заметим, что ${\displaystyle f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}f(b)=0}$ , и, таким образом, ${\displaystyle p_{x}\in \ker(f)}$ . Поскольку ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot }}$ , то ${\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle =0}$ . Следовательно,

${\displaystyle \langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0}$ .

Отсюда ${\displaystyle f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}}$ и ${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }$ .

Единственность ${\displaystyle y}$

Предположим, что ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ элементы ${\displaystyle H}$ удовлетворяют ${\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle }$ .

Это означает, что для всех ${\displaystyle x\in H}$ справедливо равенство ${\displaystyle \langle y-z,x\rangle =0}$ , в частности ${\displaystyle \langle y-z,y-z\rangle =\|y-z\|^{2}=0}$ , откуда и получается равенство ${\displaystyle y=z}$ .

Равенство норм

Для доказательства ${\displaystyle \|y\|=\|f\|}$ сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: ${\displaystyle |f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|}$ . Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: ${\displaystyle \|f\|\leq \|y\|.}$ Кроме того, ${\displaystyle \langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|}$ , откуда ${\displaystyle \|y\|\leq \|f\|}$ . Объединяя два неравенства, получаем ${\displaystyle \|y\|=\|f\|}$ .

См. также

• Теорема Лакса — Мильграма

Примечания