Ве́йвлет ( англ. wavelet — небольшая волна, рябь; также всплеск , реже — вэйвлет ) — математическая функция , позволяющая анализировать различные частотные компоненты данных. График функции выглядит как волнообразные колебания с амплитудой, уменьшающейся до нуля вдали от начала координат. Однако это частное определение — в общем случае анализ сигналов производится в плоскости вейвлет-коэффициентов (масштаб — время — уровень) (Scale-Time-Amplitude). Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным преобразованием сигнала. Полученные вейвлет-спектрограммы принципиально отличаются от обычных спектров Фурье тем, что дают чёткую привязку спектра различных особенностей сигналов ко времени.

История

В начале развития области употреблялся термин «во́лночка» — калька с английского ^{[ источник не указан 1666 дней ]} . Позднее применялся предложенный К. И. Осколковым термин «вcплеск» . Английское слово «wavelet» означает в переводе «маленькая волна», или «волны, идущие друг за другом». И тот и другой перевод подходит к определению вейвлетов. Вейвлеты — это семейство функций, которые локальны во времени и по частоте («маленькие»), и в которых все функции получаются из одной посредством её сдвигов и растяжений по оси времени (так что они «идут друг за другом»).

Разработка вейвлетов связана с несколькими отдельными путями рассуждений, начавшимися с работ Альфреда Хаара в начале XX века . Весомый вклад в теорию вейвлетов внесли Гуппилауд, и , сформулировавшие то, что сейчас известно как непрерывное вейвлет-преобразование (НВП) (1982), Жан Олаф-Стромберг с ранними работами по дискретным вейвлетам (1983), Добеши , разработавшая ортогональные вейвлеты с компактным носителем (1988), , предложивший кратномасштабный метод (1989), Натали Делпрат, создавшая временно-частотную интерпретацию CWT (1991), Ньюланд, разработавший гармоническое вейвлет-преобразование, и многие другие.

В конце XX века появляются инструментальные средства по вейвлетам в системах компьютерной математики Mathcad , MATLAB и Mathematica (см. их описание в книге Дьяконова В. П.). Вейвлеты стали широко применяться в технике обработки сигналов и изображений, в частности, для их компрессии и очистки от шума. Были созданы интегральные микросхемы для вейвлет-обработки сигналов и изображений.

В декабре 2000 года появился новый международный стандарт сжатия изображений JPEG 2000 , в котором сжатие осуществляется при помощи разложения изображения по базису вейвлетов.

В 2002—2003 годах появился ICER — формат сжатия изображений на основе вейвлет-преобразований, используемый для фотоснимков, получаемых в дальнем космосе, в частности, в проектах Mars Exploration Rover .

Определения, свойства, виды

Существует несколько подходов к определению вейвлета: через масштабный фильтр, масштабную функцию, вейвлет-функцию. Вейвлеты могут быть ортогональными , полуортогональными, биортогональными. Вейвлетные функции могут быть симметричными , асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой, а также иметь различную степень гладкости .

Примеры вейвлетов:

Вейвлет-преобразования

Рассматривают функцию (взятую будучи функцией от времени) в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте.

Используются в обработке сигналов, нередко заменяя обычное преобразование Фурье во многих областях физики , включая молекулярную динамику , , астрофизику , локализацию матрицы плотности , сейсмическую геофизику, оптику , турбулентность , квантовую механику , обработку изображений , анализы кровяного давления , пульса и ЭКГ , анализ ДНК , исследования белков , исследования климата , общую обработку сигналов , распознавание речи , компьютерную графику , и другие.

Вейвлет-анализ применяется для анализа нестационарных сигналов медицинских диагностических приборов, в том числе в электрогастроэнтерографии .

Вейвлет-преобразования обычно делят на дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и непрерывное вейвлет-преобразование (НВП).

Дискретное

Вейвлеты, образующие ДВП, могут рассматриваться как разновидность фильтра конечного импульсного отклика .

Применение: обычно используется для кодирования сигналов (в технических приложениях, в компьютерных областях).

Непрерывное

Вейвлеты, образующие НВП, подчиняются принципу неопределённости Гейзенберга и соответственно базис дискретного вейвлета также может рассматриваться в контексте других форм принципа неопределённости .

Применение: для анализа сигналов (научные исследования).

Теория вейвлетов

Связана с несколькими другими методиками.

Все вейвлет-преобразования могут рассматриваться как разновидность и, следовательно, относятся к предмету гармонического анализа .

Дискретное вейвлет-преобразование может рассматриваться как разновидность цифрового фильтра с конечным импульсным откликом.

См. также

• Преобразование Фурье
• Дискретное вейвлет-преобразование
• Непрерывное вейвлет-преобразование
• Сжатие с использованием вейвлет

Примечания

Литература

• Новиков И. Я., Стечкин С. Б. // Успехи математических наук . — 1998. — Т. 53 , вып. 6(324) . — С. 53–128 .
• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: РХД, 2001. — 464 с.
• Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. — М. : СОЛОН-Пресс, 2004. — 440 с.
• Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М. : Мир, 2005. — 672 с.
• Новиков И. Я., Протасов В. Ю. , Скопина М. А. Теория всплесков. — М. : Издательство "Наука", 2005. — 613 с.
• Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск: РХД, 2010. — 292 с.
• Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М. : Мир, 2001. — 412 с.
• / А. Л. Афендиков, А. А. Давыдов, А. Е. Луцкий [и др.]. — Москва : ИПМ им. М. В. Келдыша, 2016. — 230 с. : ил., табл., цв. ил.; 20 см; ISBN 978-5-98354-030-9 : 100 экз.

Ссылки

• от 29 сентября 2020 на Wayback Machine (англ.)
• (англ.)
• — 59 с. — Для тех, кто хорошо понял ДПФ
• — 29 с. — Для тех кто хорошо понял работу Роби Поликара Введение в Вейвлет-преобразование
• (англ.)
• (англ.)
• : «Введение в вейвлет-анализ» и «Вейвлет-анализ и приложения».
• (недоступная ссылка) с пакетом Mathematica .