Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Свойства

• Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что все три стороны его целочисленны, а по теореме, обратной теореме Пифагора, он прямоуголен.
• Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен единице.

История

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины : в VII — V веках до нашей эры древнегреческие философы и математики совершали путешествия в Египет . Так, например, Пифагор в 535 году до нашей эры по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно решение задачи по удвоению площади квадрата с помощью построения на его диагонали большего квадрата привело Пифагора к доказательству знаменитой теоремы . Второй квадрат содержит четыре «половинки» первого, следовательно, его площадь вдвое больше. Эта задача легла в основу характерного для античного искусства способа пропорционирования . Такой способ гармонизации пропорций описал древнегреческий философ Платон (ок. 427—347 гг. до н. э.) .

Такой же приём, если верить Плинию Старшему (23—79 гг. н. э.) и Марку Теренцию Варрону (116—27 гг. до н. э.), использовал знаменитый древнегреческий скульптор Поликлет из Аргоса в сочинении « Канон » (сочинение не сохранилось) .

Египетский треугольник в истории архитектуры

Древнегреческие архитекторы называли строителей египетских пирамид «гарпедонавтами» («натягивателями верёвок» от др.-греч. αρπεδονη — аркан, петля), поскольку они использовали для построения исходной фигуры — прямоугольного треугольника — мерные шнуры. Простейший способ разбивки плана будущего сооружения на земле сводится к построению прямого угла , от которого зависит проецирование центра тяжести будущего сооружения на середину основания — первого условия прочности и надёжности постройки. Древние зодчие решали эту задачу гениально просто. Они брали мерный шнур — верёвку, разделённую узлами на двенадцать равных частей, соединяли её концы (двенадцатый и нулевой узел) и, растягивая на земле, забивали колышки в землю на третьем, седьмом и двенадцатом делениях. При этом получался треугольник с отношениями сторон 3 : 4 : 5 и он при любых размерах будет прямоугольным. Получив прямой угол без всяких вычислений, строители могли его увеличивать до нужных размеров, переносить в вертикальную плоскость. Благодаря своим универсальным свойствам такой треугольник в истории архитектуры получил название: «египетский священный треугольник». Одна из гигантских пирамид в Гизе — пирамида Хефрена — представляет собой в поперечном сечении два «священных треугольника», а отношение высоты к стороне квадратного основания составляет 2:3 (143,5 : 215,25 м). За долгое время эти размеры несколько уменьшились (136,4 : 210,5 м).

Числа треугольника: 3, 4, 5, их сумма 12, а также 7, сумма 3 и 4, — постоянно встречаются в природе и также почитались священными. Согласно религиозным представлениям, универсальная геометрия египетского треугольника олицетворяла Великую триаду богов: Исида и Осирис (два катета) и их сын Гор (гипотенуза). «Бытие и небытие сопоставляются с Исидой и Осирисом, а диагональ с Гором-Соколом» ( егип. ḥr — «высота», «небо») .

Историк и математик Ван дер Варден ставил факт использования египетского треугольника под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили .

Египетский треугольник применяли и в архитектуре средних веков . Построение треугольника легло в основу средневекового принципа триангуляции (в отличие от квадратуры) при пропорционировании больших кафедральных соборов, причём не только планов и фасадов, но также трифолиев — «трилистников» и иных элементов декора, переплётов окон, резной готический мебели и орнамента типа масверк .

Примечания

См. также

• Пропорционирование
• Теорема Пифагора
• Формула Герона
• Пифагорова тройка