График интеграла Зиверта при различных
θ
Интеграл Зиверта
(
интегральный секанс
) — специальная функция, возникающая в задачах о распространении излучения от протяжённого источника. Назван по имени шведского физика
Рольфа Зиверта
, который ввёл его в 1921 году
. Она представляет собой неберущийся интеграл:
F
(
θ
,
x
)
=
∫
0
θ
e
−
x
⋅
sec
φ
d
φ
{\displaystyle F(\theta ,x)=\int _{0}^{\theta }{e^{-x\cdot \sec \varphi }}\,d{\varphi }}
Полный интеграл Зиверта связан с
Ki
{\displaystyle \operatorname {Ki} }
:
F
(
π
2
,
x
)
=
Ki
1
(
x
)
=
∫
x
∞
K
0
(
t
)
d
t
{\displaystyle F\left({\frac {\pi }{2}},x\right)=\operatorname {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }K_{0}(t)\,dt}
где
K
0
(
x
)
{\displaystyle K_{0}(x)}
—
функция Макдональда
.
Существует два обобщения интеграла Зиверта:
F
a
(
θ
,
x
)
=
x
a
∫
0
θ
e
−
x
⋅
sec
φ
⋅
sec
a
φ
d
φ
{\displaystyle F_{a}(\theta ,x)=x^{a}\int _{0}^{\theta }{e^{-x\cdot \sec \varphi }}\cdot \sec ^{a}{\varphi }\,d{\varphi }}
F
a
(
θ
,
x
,
y
)
=
x
a
∫
0
θ
e
−
x
⋅
sec
φ
⋅
(
sec
φ
)
a
⋅
(
tg
φ
)
2
y
−
1
d
φ
{\displaystyle F_{a}(\theta ,x,y)=x^{a}\int _{0}^{\theta }{e^{-x\cdot \sec \varphi }}\cdot (\sec \varphi )^{a}\cdot (\operatorname {tg} \varphi )^{2y-1}\,d{\varphi }}
где
a
⩾
0
,
x
>
0
,
0
<
θ
⩽
π
2
{\displaystyle a\geqslant 0,x>0,0<\theta \leqslant {\frac {\pi }{2}}}
Примечания
R. M. Sievert.
(нем.)
// Acta Radiologica. — 1921. —
Bd. 1
,
Nr. 1
. —
S. 89-128
.
L.A.-M. Hanna, S.L. Kalla.
(англ.)
//
. — 2000. —
Vol. 59
. —
P. 281-285
.
(недоступная ссылка)
Ссылки
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.