Доска́ Га́льтона ( англ. Galton board , также распространены названия квинкункс , quincunx и bean machine ) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году , затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance , изданной в 1889 году ) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы .

Устройство

Доска Гальтона представляет собой ящик с прозрачной передней стенкой. В заднюю стенку в шахматном порядке вбиты штырьки, образующие треугольник. Сверху в ящик через воронку (выход из которой расположен ровно посередине между левой и правой стенками) кидаются шарики. В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля , то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырёк к центру, тем больше число путей).

В некоторых настольных играх , а также игровом автомате Патинко , используется доска Гальтона или схожие с ней устройства.

Распределение шариков

Обозначим как n общее число столкновений шарика со штырьками; как k число раз, когда шарик поворачивает направо (таким образом, он оказывается в k -м по порядку столбике). Тогда число способов, которыми он может добраться до k -го столбика, определяется биномиальным коэффициентом ${\displaystyle {n \choose k}}$ . Отсюда следует, что вероятность оказаться в k -м столбике равна ${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ , где p — вероятность поворота направо (обычно можно считать, что ${\displaystyle p=0,5}$ ). Это функция вероятности биномиального распределения , которое в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение .

Примечания

Ссылки

• (англ.)
• (англ.)
• (англ.)
• от 8 апреля 2008 на Wayback Machine (англ.)
• (англ.)
• (рус.)