Interested Article - Задача Пипса

Задача Ньютона-Пипса или же Задача Пипса вероятностная задача, касающаяся вероятности выпадения шестерок из определенного количества игральных костей .

В 1693 году Сэмюэл Пипс и Исаак Ньютон вели переписку по поводу проблемы, поставленной перед Пипсом школьным учителем по имени Джон Смит. Проблема заключалась в:

Какое из следующих трех предложений имеет наибольшие шансы на успех?

A. Шесть честных кубиков бросаются независимо друг от друга, и выпадает по крайней мере одна цифра «6».
B. Двенадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере две «6».
C. Восемнадцать честных кубиков бросаются независимо и выпадают по крайней мере три «6».

Сэмюэл Пипс изначально думал, что результат C имеет наибольшую вероятность, но Исаак Ньютон правильно заключил, что результат A на самом деле имеет наибольшую вероятность.

Решение

Вероятности исходов A, B и C равны:

Эти результаты могут быть получены путем применения биномиального распределения (хотя Ньютон получил их из первых принципов). В общем случае, если P( n ) — вероятность выпадения по крайней мере n шестерок из 6 n кубиков, то:

По мере роста n P( n ) монотонно уменьшается к асимптотическому пределу 1/2.

Пример в R

Решение, изложенное выше, может быть реализовано в R следующим образом:

для (s в 1:3) {          # ищем s = 1, 2 или 3 шестерки
  n = 6*s                 # ... в n = 6, 12 или 18 кубиках
  q = pbinom(s - , n, 1/6) # q = Prob( < s шестерок в n кубиках)
  cat("Вероятность не менее", s, "шестерка в", n, "честные кости":, 1-q, "\n")
}

Объяснение Ньютона

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он предоставил Пипсу отдельное интуитивное объяснение. Он представил, что B и C бросают свои кости группами по шесть, и сказал, что A является наиболее благоприятным, потому что требуется 6 только за один бросок, в то время как B и C требуют 6 за каждый из своих бросков. Это объяснение предполагает, что группа не производит более одного 6, поэтому оно фактически не соответствует исходной задаче.

Обобщения

Естественным обобщением задачи является рассмотрение n необязательно честных кубиков с p вероятностью того, что каждый кубик выберет 6 граней при броске (обратите внимание, что на самом деле количество граней кубика и то, какая грань должна быть выбрана, не имеет значения). Если r — это общее количество игральных костей, выбирающих 6 граней, то это вероятность того, что по крайней мере k правильных выборов при броске ровно n кубиков. Тогда исходную задачу Ньютона-Пипса можно обобщить следующим образом:

Пусть будут натуральными положительными числами s.t. . Тогда не меньше, чем для всех n, p, k ?

Обратите внимание, что при таком обозначении исходная задача Ньютона-Пипса читается как: является ?

Как отмечено в работе Рубина и Эванса (1961), не существует единообразных ответов на обобщенную задачу Ньютона-Пипса, поскольку ответы зависят от k, n и p . Тем не менее, существуют некоторые вариации предыдущих вопросов, которые допускают единообразные ответы:

(из Чаунди и Булларда (1960)):

Если являются положительными натуральными числами, и, то .

Если являются положительными натуральными числами, и, то .

(из Вараньоло, Пиллонетто и Шенато (2013)):

Если являются положительными натуральными числами, и тогда .

Ссылки

  1. ^ Перейти к: a b
  2. ^ Чаунди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253—260.
  3. ^ Перейти к: a b
  4. ^ Чаунди, Т.В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». Математический вестник 44, 253—260.
  5. ^ D. Varagnolo, L. Schenato, G. Pillonetto, 2013. «Вариация задачи Ньютона-Пса и ее связи с задачами оценки размера». Письма о статистике и вероятности 83 (5), 1472—1478.
скрыть
  • v
  • t
  • e

Сэр Исаак Ньютон

Публикации
  • Флюксии (1671)
  • De Motu (1684)
  • Принципы (1687; написание)
  • Оптические приборы (1704)
  • Запросы (1704)
  • Arithmetica (1707)
  • De Analysi (1711)
Другие работы
  • Quaestiones (1661—1665)
  • «стоящий на плечах гигантов» (1675)
  • Заметки о еврейском храме (ок. 1680)
  • «Общая схолия» (1713; «гипотезы, не являющиеся финго» )
  • Исправленные Древние царства (1728)
  • Искажения Писания (1754)
Взносы
  • Математическое
    • флюксия
  • Глубина воздействия
  • Инерция
  • Диск Ньютона
  • Многоугольник Ньютона
    • Тело Ньютона-Окунькова
  • Отражатель Ньютона
  • Ньютоновский телескоп
  • Шкала Ньютона
  • Металл Ньютона
  • Спектр
  • Структурная окраска
Ньютонианство
  • Аргумент ведра
  • Неравенства Ньютона
  • Закон охлаждения Ньютона
  • Закон всемирного тяготения Ньютона
    • Постньютоновское расширение
    • параметризованный
    • гравитационная постоянная
  • Теория Ньютона-Картана
  • Уравнение Шредингера-Ньютона
  • Законы движения Ньютона
    • Законы Кеплера
  • Ньютоновская динамика
  • Метод Ньютона в оптимизации
    • Проблема Аполлония
    • усеченный метод Ньютона
  • Алгоритм Гаусса-Ньютона
  • Кольца Ньютона
  • Теорема Ньютона об овалах
  • Задача Ньютона-Пеписа
  • Ньютоновский потенциал
  • Ньютоновская жидкость
  • Классическая механика
  • Корпускулярная теория света
  • Противоречие в исчислении Лейбница-Ньютона
  • Обозначения Ньютона
  • Вращающиеся сферы
  • Пушечное ядро Ньютона
  • Формулы Ньютона-Котса
  • Метод Ньютона
    • обобщенный метод Гаусса-Ньютона
  • Фрактал Ньютона
  • Тождества Ньютона
  • Многочлен Ньютона
  • Теорема Ньютона о вращающихся орбитах
  • Уравнения Ньютона-Эйлера
  • Число Ньютона
    • задача о числе поцелуев
  • Коэффициент Ньютона
  • Параллелограмм силы
  • Теорема Ньютона-Пюизе
  • Абсолютное пространство и время
  • Светоносный эфир
  • Ряд Ньютона
    • таблица
Личная жизнь
  • Поместье Вулсторп (место рождения)
  • Крэнбери Парк (главная)
  • Ранняя жизнь
  • Дальнейшая жизнь
  • Религиозные взгляды
  • Оккультные исследования
  • Научная революция
  • Революция Коперника
Соотношения
  • Кэтрин Бартон (племянница)
  • Джон Кондуитт (племянник зятя)
  • Исаак Барроу (профессор)
  • Уильям Кларк (наставник)
  • Бенджамин Пуллейн (преподаватель)
  • Джон Кейлл (ученик)
  • Уильям Стакли (друг)
  • Уильям Джонс (друг)
  • Абрахам де Муавр (друг)
Описания
  • Ньютон Блейка (монотипия)
  • Ньютон работы Паолоцци (скульптура)
  • Горгулья Исаака Ньютона
Тезка
  • Ньютон (единица измерения)
  • Колыбель Ньютона
  • Институт Исаака Ньютона
  • Медаль Исаака Ньютона
  • Телескоп Исаака Ньютона
  • Группа телескопов Исаака Ньютона
  • XMM-Ньютон
  • Сэр Исаак Ньютон в шестом классе
  • Государственный институт высшего образования Исаака Ньютона
  • Международная стипендия Ньютона
Категории Исаак Ньютон
Источник —

Same as Задача Пипса