Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Первая лемма

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и последовательность событий ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ . Обозначим

${\displaystyle A=\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\equiv \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)}$ .

Тогда если ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ сходится, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$ .

Вторая лемма

Если все события ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ совместно независимы , и ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)}$ расходится, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$ .

Замечание

В первой лемме Бореля — Кантелли независимость событий не требуется.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6 .

См. также

• Закон нуля или единицы ;
• Теорема о бесконечных обезьянах ;
• Борель, Эмиль ;

Ссылки

• Prokhorov, A.V. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4