Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым .

Стандартная формулировка леммы Фату

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ обозначает борелевскую ${\displaystyle \sigma }$ - алгебру на ${\displaystyle [0,+\infty )}$ .

Лемма. Дано пространство с мерой ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ и множество ${\displaystyle X\in \Sigma ,}$ пусть ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ последовательность ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримых неотрицательных функций ${\displaystyle f_{n}:X\to [0,+\infty )}$ .

Определим функцию ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty )}$ :

${\displaystyle f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$ .

Тогда ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримой и :

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu .}$

Замечание 1. Интеграл может быть конечным или бесконечным.

Замечание 2. Лемма Фату остается верной, если ее предположения сохраняются почти всюду . Другими словами, этого вполне достаточно, чтобы существовало нулевое множество ${\displaystyle N}$ такое, что последовательность ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ не убывала для любого ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$

Чтобы понять, почему это так, начнем с наблюдения, что возможность последовательности ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ почти всюду поточечно не убывать приводит к тому, что ее поточечный предел ${\displaystyle f}$ не определен на некотором нулевом множестве ${\displaystyle N}$ . В ${\displaystyle N}$ функция ${\displaystyle f}$ может быть определена любым способом, который сохраняет измеримость.

Чтобы увидеть, почему это не повлияет на результат, отметим, что поскольку ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ то для любого ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$ и ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

при условии, что ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримой. (Эти равенства непосредственно следуют из определения интеграла Лебега для неотрицательной функции).

Для дальнейшего доказательства допустим, что ${\displaystyle \textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)}$ .

Замечание 3. Для любого ${\displaystyle x\in X}$

Замечание 4. Приведенное ниже доказательство не использует никаких свойств интеграла Лебега, кроме тех, которые установлены здесь.

Замечание 5 (монотонность интеграла Лебега). В приведенном ниже доказательстве мы применяем монотонное свойство интеграла Лебега к неотрицательным функциям. Пусть функции ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty )}$ являются ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримыми.

• Если ${\displaystyle f\leq g}$ всюду на ${\displaystyle X,}$ тогда

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Если ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$ и ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$ тогда

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство .

Определим ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ как набор простых ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримых функций ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ таких, что ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ всюду на ${\displaystyle X.}$

1. Поскольку ${\displaystyle f\leq g,}$ то

${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).}$

По определению интеграла Лебега и свойств супремума

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Пусть ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{1}}}$ является индикаторной функцией множества ${\displaystyle X_{1}.}$ Из определения интеграла Лебега можно сделать вывод, что

${\displaystyle \int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu }$ .

Заметим, что для любого ${\displaystyle s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ ${\displaystyle s=0}$ вне ${\displaystyle X_{1}.}$ В сочетании с предыдущим свойством неравенство ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f}$ подразумевает:

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Доказательство

Это доказательство не зависит от теоремы Леви о монотонной сходимости . Однако здесь объясняется, как эта теорема может быть применена.

Промежуточные результаты.

Интеграл Лебега как мера.

Лемма 1. Пусть ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ - пространство с мерой . Рассмотрим простую ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримую неотрицательную функцию ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ . Для подмножества ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$ , определим

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}s\,d\mu }$ .

Тогда ${\displaystyle \nu }$ - мера множества ${\displaystyle \Omega }$ .

"Непрерывность снизу"

Следующее свойство является прямым следствием определения меры.

Лемма 2. Пусть ${\displaystyle \mu }$ - мера и ${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$ , где

${\displaystyle S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \ldots \subseteq S}$

неубывающая цепочка со всеми ${\displaystyle \mu }$ -измеримыми множествами. Тогда:

${\displaystyle \mu (S)=\lim _{i}\mu (S_{i})}$ .

Доказательство.

Шаг 1. Докажем, что ${\displaystyle g_{n}=g_{n}(x)}$ - ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измерима, для любого ${\displaystyle n\geq 1}$ .

Действительно, поскольку борелевская ${\displaystyle \sigma }$ - алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ порождается замкнутыми интервалами ${\displaystyle \{[t,+\infty )\}_{-\infty \leq t\leq +\infty }}$ , то достаточно показать, что ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ))\in \Sigma }$ , для любого ${\displaystyle t\in [-\infty ,+\infty )}$ , где ${\displaystyle g_{n}^{-1}([t,+\infty ))}$ - прообраз.

Заметим, что:

${\displaystyle g_{n}(x)\geq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall k\geq n\quad f_{k}(x)\geq t{\Bigr )}}$ ,

или, что то же самое:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ))&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([t,+\infty ))\end{aligned}}}$

Заметим, что каждое множество правой части принадлежит ${\displaystyle \Sigma }$ . Т.к. ${\displaystyle \Sigma }$ , по определению, замкнуто относительно счетных пересечений, то левая часть также принадлежит ${\displaystyle \Sigma }$ . Доказано, что ${\displaystyle g_{n}}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримой.

Шаг 2. Теперь покажем, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измерима.

Если использовать теорему о монотонной сходимости , то измеримость ${\displaystyle f}$ следует из замечания 3 .

В качестве альтернативы, достаточно проверить, что ${\displaystyle f^{-1}([0,t])\in \Sigma }$ , для любого ${\displaystyle t\in [0,+\infty ])}$ . Поскольку последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}}$ поточечно не убывает ( замечание 3 ), аргументируя как на первом шаге, получаем:

${\displaystyle 0\leq f(x)\leq t\quad \Leftrightarrow \quad {\Bigl (}\forall n\quad 0\leq g_{n}(x)\leq t{\Bigr )}}$ .

Измеримость ${\displaystyle g_{n}}$ и вышеупомянутая эквивалентность подразумевают, что

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in \Sigma }$ .

Далее можно доказывать двумя способами: используя теорему Леви о монотонной сходимости или не используя.

Шаг 3. Доказательство с использованием теоремы

По определению, ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}}$ , последовательность ${\displaystyle \{g_{n}(x)\}}$ не убывает для любого ${\displaystyle x\in X}$ . Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\lim _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\lim _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n}\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}}$

что и требуется доказать.

Шаг 3. Без использования теоремы

Определим ${\displaystyle {SF}(f)}$ множество простых ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримых функций ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ таких, что ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ на ${\displaystyle X}$ .

Рассмотрим простую функцию ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ и действительное число ${\displaystyle t\in (0,1)}$ , определим:

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Тогда

${\displaystyle B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}}$ , и ${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ .

Шаг 3a. Пусть:

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}}$

для некоторого конечного набора попарно непересекающихся измеримых множеств ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{m}\in \Sigma }$ таких, что ${\displaystyle \textstyle X=\cup _{i=1}^{m}A_{i}}$ ; некоторых конечных действительных чисел ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{m}}$ .

Тогда,

${\displaystyle B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$ .

Поскольку прообраз ${\displaystyle g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ){\Bigr )}}$ борелевского множества ${\displaystyle [t\cdot c_{i},+\infty ]}$ измеримой функции ${\displaystyle g_{k}}$ является измеримой функцией, а ${\displaystyle \sigma }$ - алгебра, по определению, замкнута относительно счетных пересечений и объединений, первое утверждение доказано.

Шаг 3b. Для доказательства второго утверждения отметим, что для каждого ${\displaystyle k}$ и любого ${\displaystyle x\in X}$ , ${\displaystyle g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).}$

Шаг 3c. Для доказательства третьего утверждения покажем, что ${\displaystyle \textstyle X\subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ .

Действительно, в противном случае ${\displaystyle \textstyle X\not \subseteq \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ , тогда существует элемент

${\displaystyle x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})}$

такой, что ${\displaystyle g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})}$ для любого ${\displaystyle k}$ . Рассматривая предел при ${\displaystyle k\to \infty }$ , получим

${\displaystyle f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).}$

Но по первоначальному предположению, ${\displaystyle s\leq f}$ . Противоречие.

Шаг 4. Для любой простой ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ - измеримой неотрицательной функции ${\displaystyle s_{2}}$ :

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\int _{X}s_{2}\,d\mu .}$

Для доказательства, определим ${\displaystyle \textstyle \nu (S)=\int _{S}s_{2}\,d\mu }$ .

По лемме 1 , ${\displaystyle \nu (S)}$ измерима на ${\displaystyle \Omega }$ .

По лемме 2 :

${\displaystyle \lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s_{2}\,d\mu =\lim _{n}\nu (B_{n}^{s,t})=\nu (X)=\int _{X}s_{2}\,d\mu }$ .

Шаг 5. Докажем теперь, что для каждого ${\displaystyle {\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)},}$

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu }$ .

Действительно, используя определение ${\displaystyle B_{k}^{s,t}}$ , неотрицательность ${\displaystyle g_{k}}$ и монотонность интеграла Лебега, имеем

${\displaystyle \forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu .}$

В соответствии с шагом 4 , при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$ неравенство примет вид:

${\displaystyle t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu .}$

Переходя к пределу при ${\displaystyle t\uparrow 1}$ , получим:

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu ,}$

что и требовалось.

Шаг 6. Чтобы завершить доказательство, мы применяем определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 5 , учитывая, что ${\displaystyle g_{n}\leq f_{n}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}.}$

Доказательство закончено.

Примеры строгого неравенства

Обозначим через ${\displaystyle S}$ пространство c борелевской σ-алгеброй c мерой Лебега.

• Пример для вероятностного пространства. Пусть ${\displaystyle S=[0,1]}$ определяет единичный интервал. Для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ определим:

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in (0,1/n)\\0,&{\text{иначе.}}\end{cases}}}$

• Пример с равномерной сходимостью. Пусть ${\displaystyle S}$ определяет множество всех действительных чисел. Определим

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x\in [0,n]\\0,&{\text{иначе.}}\end{cases}}}$

Эти последовательности ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ сходятся на ${\displaystyle S}$ поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но каждая ${\displaystyle f_{n}}$ интегрируема.

Роль неотрицательности

Подходящее предположение относительно отрицательных частей последовательности ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ функций необходимо для леммы Фату, как показано в следующем примере. Обозначим через ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}},&x\in [n,2n]\\0,&{\text{иначе.}}\end{cases}}}$

Эта последовательность сходится равномерно на ${\displaystyle S}$ к нулевой функции (с нулевым интегралом) и для любого ${\displaystyle x\geq 0}$ мы имеем ${\displaystyle f_{n}(x)=0}$ для всех ${\displaystyle n>x}$ (поэтому для каждой точки ${\displaystyle x}$ предел 0 достигается за конечное число шагов). Однако каждая функция ${\displaystyle f_{n}}$ имеет интеграл -1, поэтому не выполняется неравенство леммы Фату.

Обратная лемма Фату

Пусть ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ - последовательность расширенных вещественных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ . Если существует неотрицательная интегрируемая функция ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle S}$ такая, что для всех ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{n}\leq g}$ , то

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }g\,d\mu .}$

Примечание: здесь ${\displaystyle g}$ интегрируема означает, что g измерима и что ${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty .}$

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной ${\displaystyle g-f_{n}.}$

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрирование по нижней границе

Пусть ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ - последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ . Если существует такая интегрируемая функция ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle S}$ , что ${\displaystyle f_{n}\geq -g}$ для всех ${\displaystyle n}$ , то

${\displaystyle {\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}g\,d\mu .}}$

Доказательство

Применим лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной ${\displaystyle f_{n}+g}$

Поточечная сходимость

Если в предыдущем пункте последовательность ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ , сходится поточечно к функции ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ -почти всюду на ${\displaystyle S}$ , то

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

Доказательство

Заметим, что значения подынтегрального выражения на множестве меры нуль не влияют на значение интеграла.

Сходимость по мере

Последнее утверждение также справедливо, если последовательность ${\displaystyle f_{1},f_{2},...}$ сходится по мере к функции ${\displaystyle f}$ .

Доказательство

Существует такая подпоследовательность, что

${\displaystyle {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}}$

Так как эта подпоследовательность сходится по мере к ${\displaystyle f}$ , то существует еще одна подпоследовательность, которая сходится поточечно к ${\displaystyle f}$ почти всюду, поэтому предыдущая вариация леммы Фату применима к этой подпоследовательности.

Лемма Фату с изменяющимися мерами

Во всех вышеприведенных формулировках леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере ${\displaystyle \mu }$ . Предположим, что ${\displaystyle \mu _{n}}$ - последовательность мер на измеримом пространстве ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ такая, что :

${\displaystyle \mu _{n}(E)\to \mu (E),~\forall E\in \Sigma .}$

Тогда, когда ${\displaystyle f_{n}}$ неотрицательные интегрируемые функции и ${\displaystyle f}$ является их поточечным пределом, мы имеем:

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.}$

Доказательство

Позволим ${\displaystyle f_{n}}$ сходиться ${\displaystyle \mu }$ -почти всюду на подмножестве ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle S}$ . Мы стремимся показать, что

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\,.}$

Пусть

${\displaystyle K=\{x\in E|f_{n}(x)\setminus f(x)\}.}$

Тогда ${\displaystyle \mu (E\setminus K)=0}$ и

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E\setminus K}f\,d\mu ,~~~\int _{E}f_{n}\,d\mu =\int _{E\setminus K}f_{n}\,d\mu ~\forall n\in \mathbb {N} .}$

Таким образом, заменив ${\displaystyle E}$ на ${\displaystyle E\setminus K}$ , мы можем считать, что ${\displaystyle f_{n}}$ поточечно сходится к ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle E}$ . Далее заметим, что для любой простой функции ${\displaystyle \phi }$ имеем:

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{E}\phi \,d\mu _{n}.}$

Следовательно, по определению интеграла Лебега достаточно показать, что если ${\displaystyle \phi }$ - любая неотрицательная простая функция, меньшая или равная ${\displaystyle f}$ , то

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}}$

Пусть ${\displaystyle a}$ - минимальное неотрицательное значение ${\displaystyle \phi }$ . Определим

${\displaystyle A=\{x\in E|\phi (x)>a\}}$

Сначала рассмотрим случай, когда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu =\infty .}$ Мы имеем, что ${\displaystyle \mu (A)}$ бесконечно, так как

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu \leq M\mu (A),}$

где ${\displaystyle M}$ - (обязательно конечное) максимальное значение ${\displaystyle \phi }$ . Затем мы определим

${\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.}$

Мы имеем, что

${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty .}$

Но ${\displaystyle A_{n}}$ является вложенной возрастающей последовательностью функций и, следовательно, по непрерывности снизу ${\displaystyle \mu }$ ,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\infty .}$

Таким образом,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A_{n})=\mu (A_{n})=\infty .}$

В то же время,

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}\geq a\mu _{n}(A_{n})\Rightarrow \liminf _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{n}=\infty =\int _{E}\phi \,d\mu ,}$

мы доказали это требование в данном случае.

В оставшемся случае, когда ${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu <\infty }$ , ${\displaystyle \mu (A)}$ должно быть конечно. Обозначим, как и выше, через ${\displaystyle M}$ максимальное значение ${\displaystyle \phi }$ и зафиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Определим

${\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>(1-\epsilon )\phi (x)~\forall k\geq n\}.}$

Тогда ${\displaystyle A_{n}}$ является вложенной возрастающей последовательностью множеств, объединение которых содержит ${\displaystyle A}$ . Таким образом, ${\displaystyle A\setminus A_{n}}$ является убывающей последовательностью множеств с пустым пересечением. Так как ${\displaystyle A}$ имеет конечную меру (поэтому нам было нужно рассмотреть два отдельных случая):

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A\setminus A_{n})=0.}$

Таким образом, существует ${\displaystyle n}$ такое, что:

${\displaystyle \mu (A\setminus A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq n.}$

Так как:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A\setminus A_{k})=\mu (A\setminus A_{k}),}$

существует ${\displaystyle N}$ такое, что:

${\displaystyle \mu _{k}(A\setminus A_{k})<\epsilon ,~\forall k\geq N.}$

Следовательно, для ${\displaystyle k\geq N}$

${\displaystyle {\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq \int _{A_{k}}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}}$

В то же время,

${\displaystyle \int _{E}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A}\phi \,d\mu _{k}=\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}+\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$

Следовательно,

${\displaystyle (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}.}$

Объединение этих неравенств дает

${\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu _{k}\geq (1-\epsilon )\int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\int _{A\setminus A_{k}}\phi \,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu _{k}-\epsilon \left(\int _{E}\phi \,d\mu _{k}+M\right).}$

Следовательно, устремляя ${\displaystyle \varepsilon }$ в ${\displaystyle 0}$ и взяв предел inf в ${\displaystyle n}$ , получаем, что

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu _{k}\geq \int _{E}\phi \,d\mu ,}$

лемма доказана.

Лемма Фату для условных математических ожиданий

В теории вероятностей, путем изменения обозначений, приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ , принадлежащих вероятностному пространству ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$ ; интегралы превращаются в математические ожидания. Кроме того, существует также версия для условных математических ожиданий.

Стандартная версия

Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$ и пусть ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ -подалгебра.

Тогда ${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное.

Примечание: условное математическое ожидание неотрицательных случайных величин всегда строго определено, конечное математическое ожидание не требуется.

Доказательство

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство для стандартной версии леммы Фату, описанное выше, однако должна быть применена теорема о монотонной сходимости для условных математических ожиданий.

Обозначим через ${\displaystyle X}$ предел, уступающий ${\displaystyle X_{n}}$ . Для каждого натурального числа ${\displaystyle k}$ определим точечную оценку случайной величины

${\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.}$

Тогда последовательность ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},...}$ возрастает и поточечно сходится к ${\displaystyle X.}$ Для ${\displaystyle k\leq n}$ имеем ${\displaystyle Y_{k}\leq X_{n}}$ , тогда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное в силу монотонности условного математического ожидания, следовательно

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное, потому что счетное объединение исключительных множеств нулевой вероятности является нулевым множеством. Используя определение ${\displaystyle X}$ , его представление как поточечного предела ${\displaystyle Y_{k}}$ , теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверное

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}}$

Расширение до равномерно интегрируемых отрицательных частей

Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ - последовательность неотрицательных случайных величин из вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$ и пусть ${\displaystyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ -подалгебра. Если отрицательные части

${\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },}$

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что при ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle c>0}$ , что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ почти наверное,

тогда

${\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]}$ почти наверное.

Примечание: на множестве, где для

${\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}$

выполнено:

${\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,}$

левая часть неравенства равна плюс бесконечности. Условное математическое ожидание нижнего предела, возможно, может оказаться незаданным на этом нулевом множестве, поскольку условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечностью.

Доказательство

Путь ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Из-за равномерной интегрируемости по условному ожиданию существует такое ${\displaystyle c>0}$ , что

${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ почти наверное.

Поскольку

${\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},}$

где ${\displaystyle x^{+}:=max\{x,0\}}$ обозначает положительную часть вещественного ${\displaystyle x}$ , используя монотонность условного математического ожидания и стандартную версию леммы Фату для условных математических ожиданий имеем

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]}$ почти наверное.

Поскольку

${\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},}$

мы имеем

${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon }$ почти наверное,

следовательно,

${\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon }$ почти наверное.

Отсюда следует утверждение.

См. также

• Теорема Леви о монотонной сходимости ;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости .

Примечания

Литература

• Колмогоров А.Н. , Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М. : Наука , 1976 . — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит , 1961 . — 436 с.