Логическая вероятность — логическое отношение между двумя предложениями, степень подтверждения гипотезы H свидетельством E .

Понятие логической вероятности является одной из интерпретаций понятия вероятности наряду с частотной вероятностью и субъективной вероятностью . Формально логическая вероятность является функцией предложений какого-либо языка. Аналитическим предложениям (тавтологиям) приписывается единичное значение этой функции; противоречиям — нулевое; синтетическим предложениям — любое действительное число из интервала (0, 1) . Конкретные значения логической вероятности для каждого её синтетического аргумента H зависят от другого предложения E , которое можно интерпретировать как описание знаний некоторого субъекта . По этой причине логическую вероятность называют эпистемологической (зависящей от знаний) вероятностью. В некотором смысле её также можно трактовать и как разновидность субъективной вероятности. Однако значения логической вероятности однозначно определяются заданной системой знаний и, в этом смысле, имеют объективный характер . В научной литературе принято различать логическую и субъективную вероятности .

Поскольку предложения языка описывают некоторые события или состояния, то логическую вероятность также можно рассматривать как функцию этих событий или состояний .

История

Понятие логической вероятности возникло и развивалось в работах Кейнса , Джонсона и Джеффри . Наиболее систематическое изучение данного понятия было проведено Карнапом . Его формулирование логической вероятности началась с конструирования формального языка. В 1950 году он рассмотрел класс очень простых языков, состоящих из конечного числа логически независимых одноместных предикатов , именуемых свойствами, и счетного количества констант. Для получения более сложных предложений использовались логические связки . Далее Карнап составил описания всех возможных состояний универсума .

Рассмотрим следующий пример, взятый из работы . Пусть формальный язык содержит три индивидуальные константы a , b , c и предикат F . Для определенности примем, что константы обозначают конкретных людей: Алису, Боба и Цезаря, а предикату соответствует свойство: « быть молодым ». Существуют восемь возможных описаний состояний для этого случая, которые представлены в табл. 1.

Таблица 1

N	Описания состояний	Вероятности 1	Вероятности 2
1	${\displaystyle F(a)\land F(b)\land F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
2	${\displaystyle F(a)\land F(b)\land \neg F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$
3	${\displaystyle F(a)\land \neg F(b)\land F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$
4	${\displaystyle F(a)\land \neg F(b)\land \neg F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$
5	${\displaystyle \neg F(a)\land F(b)\land F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$
6	${\displaystyle \neg F(a)\land F(b)\land \neg F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$
7	${\displaystyle \neg F(a)\land \neg F(b)\land F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$
8	${\displaystyle \neg F(a)\land \neg F(b)\land \neg F(c)}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

Символ « ${\displaystyle \land }$ » обозначает логическую связку «И», а символ « ${\displaystyle \neg }$ » — логическую связку «НЕ». Первое предложение можно прочитать следующим образом: «Алиса, Боб и Цезарь — все молодые», второе — «Алиса и Боб — молодые, а Цезарь — нет», третье «Алиса и Цезарь — молодые, а Боб — нет» и т. д.

Карнап обозначал абсолютную логическую вероятность предложения A символом m ( A ). Её значение определяется как сумма вероятностей состояний, в которых предложение A является истинным. Предположим, что субъект не располагает фактическими знаниями и априори считает, что все состояния универсума одинаково вероятны. Тогда значения абсолютных логических вероятностей каждого состояния равны 1/8 (см. табл. 1). Следовательно, вероятности атомарных предложений равны 1/2, вероятность конъюнкции двух атомарных предложений — 1/4, вероятность дизъюнкции двух атомарных предложений — 3/4.

Карнап определяет функцию подтверждения c ( H , E ) предложения H предложением E следующим образом:

${\displaystyle c(H,E)={\frac {m(H\land E)}{m(E)}}}$ .

С точки зрения обычной теории вероятностей функция подтверждения является условной вероятностью . Когда описания состояний универсума равновероятны, как в данном случае, мы не можем использовать полученный опыт для предсказания дальнейших событий. Например, функция подтверждения гипотезы "Цезарь молодой" при отсутствии всякого свидетельства, при наличии свидетельства "Алиса молодая" и при наличии свидетельства "Алиса молодая и Боб молодой" принимает одинаковое значение, равное 1/2.

Карнапа интересовал вопрос индуктивного вывода. Он считал, что индуктивная логика — это вероятностная логика , и новые свидетельства в пользу гипотезы должны увеличивать степень её подтверждения . В попытке согласовать свою модель с ожидаемыми результатами он обратился к структурным описаниям , которые можно получить, если все константы в языке считать неразличимыми (взаимозаменяемыми) . В нашем примере имеем четыре структурных описания.

1). «три молодых человека»,

2). «два молодых человека и один старый»,

3). «один молодой и два старых»,

4). «трое стариков».

Первому структурному описанию соответствует состояние 1 (см. табл. 1); второму — состояния 2, 3 и 5; третьему — состояния 4, 6, 7; четвертому — состояние 8. Каждому структурному описанию назначают одинаковое значение вероятности (равное 1/4 в нашем примере). Поскольку второму структурному описанию соответствуют три описания состояний 2, 3 и 5, то значения вероятностей этих состояний будут в три раза меньше значения вероятности структурного описания (то есть 1/12). Такие же значения вероятностей будут иметь и состояния 4, 6 и 7. Теперь имеем новое распределение вероятностей состояний, в котором значения вероятностей различаются (см. последний столбец табл. 1).

Для этого случая Карнап использует специальные обозначения логических функций m* и c* . Их численные значения для разных предложений языка в общем случае отличаются от значений функций m и c . Теперь появляется возможность обучения на опыте. Предположим, мы идем по улице. Значение функции подтверждения c* гипотезы "нам встретится молодой человек" при отсутствии всякого свидетельства равно 1/2. После того как мы увидели молодую девушку (Алису), оно повысится до величины 2/3. А после новой встречи с молодым человеком (Бобом) увеличивается до величины 3/4. Наши наблюдения могут наводить на мысль, что где-то поблизости расположен университет и студенты спешат на занятия. Поэтому нам и встречаются одни только молодые люди.

Необходимо заметить, что значения логической вероятности зависят от свидетельства (то есть от предложения), а не от фактов реального мира. Гипотеза «Цезарь окажется молодым» в отношении свидетельства «Алиса оказалась молодой и Боб тоже оказался молодым» имеет вероятность 3/4, независимо от того, видели ли мы Алису и Боба в реальной жизни или только вообразили себе их.

Обратимся к другому примеру. Допустим, некий человек увидел однажды черную ворону и ожидает, что и следующая увиденная им ворона окажется черной. Если это подтвердилось, то ожидания снова встретить ворону черного цвета у него будут выше, чем прежде. Впрочем, это не значит, что ситуация не может измениться (бывают ведь и белые вороны). Европейцы привыкли видеть белых лебедей и были несказанно удивлены (и очарованы), когда в Австралии обнаружили черного лебедя.

Предположим, что мы встретили юную девушку Алису, а затем немолодого Боба (возможно, что это профессор нашего гипотетического университета). Какова вероятность того, что в дальнейшем нам встретится молодой Цезарь? Говоря формальным языком, нам нужно найти значение функции подтверждения c* для этого случая. Оно будет равно 1/2. Вполне ожидаемый результат. Любопытно, что при новом распределении вероятностей состояний универсума атомарные предложения начинают зависеть друг от друга. Однако это уже не логическая, а физическая зависимость. Изменения в распределении вероятностей состояний приводят к получению новой информации (изменению знаний субъекта). В нашем случае — это представление о взаимозаменяемости индивидуальных констант. Другой пример: предложения «идет дождь» и «земля мокрая» являются логически независимыми. Однако физически они зависят друг от друга, это можно проверить опытным путём.

Классификация логических вероятностей

Согласно Карнапу , логические вероятности делятся на два класса: дедуктивные и индуктивные. Дедуктивными являются функции m и c . Примером индуктивных вероятностей могут служить функции m* и c* . Последние имеют особое значение, поскольку с их помощью можно построить логику индуктивного вывода) .

Правило последовательности

Задолго до Карнапа Лаплас вывел формулу, позволяющую рассчитывать предсказывающую (индуктивную) вероятность. Рассмотрим последовательность случайных исходов некоторого эксперимента, каждый принимает одно значение из двух возможных: либо 1, либо 0 (единица означает успех, а ноль — неудачу). Пусть E обозначает предложение «в n испытаниях было k успехов», а H обозначает предложение «следующее испытание закончится успехом». Тогда вероятность того, что следующее испытание завершится успехом, равна:

${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {k+1}{n+2}}}$ ,

Это знаменитое правило последовательности Лапласа .

Вернемся к нашему примеру. Пусть успех эксперимента заключается в том, что, двигаясь по улице, мы встречаем молодого человека, а неуспех — в том, что встречаем немолодого. Пока мы никого не встретили, ${\displaystyle n=0}$ и ${\displaystyle k=0}$ . Поэтому ${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {1}{2}}}$ . После встречи с Алисой ( ${\displaystyle n=1}$ ), которая является юной девушкой ( ${\displaystyle k=1}$ ), предсказывающая вероятность увеличивается ${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {2}{3}}}$ . А после встречи с Бобом ( ${\displaystyle n=2}$ ), который также имеет юный возраст ( ${\displaystyle k=2}$ ), она еще более увеличивается ${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {3}{4}}}$ .

Карнап пошел дальше Лапласа. Он обобщил его формулу на случай ${\displaystyle t}$ исходов ( ${\displaystyle t>2}$ ) различных типов. Пусть в результате ${\displaystyle n}$ испытаний ${\displaystyle n_{i}}$ из них закончились исходом ${\displaystyle i}$ -го типа. Тогда вероятность того, что следующее ${\displaystyle n+1}$ испытание завершится исходом ${\displaystyle i}$ -го типа, равна :

${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {n_{i}+1}{n+t}}}$

В дальнейшем Карнап получил еще более общую формулу.

Континуум Джонсона — Карнапа

Ранний Карнап излагал свою теорию скорее как философ, а не как математик . Позднее стиль его работ изменился, он стал использовать аксиомы и формальные доказательства . Современный подход к определению индуктивной вероятности заключается в следующем. Индуктивная вероятность рассматривается в виде ${\displaystyle P(A\mid B\land K)}$ , где предложения ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ входят в некоторую алгебру предложений, а ${\displaystyle K}$ является фиксированным предложением, называемом «фоновым свидетельством» .

В нашем примере предложениями алгебры являются атомарные предложения ${\displaystyle F(a)}$ , ${\displaystyle F(b)}$ и ${\displaystyle F(c)}$ и их отрицания, а также молекулярные предложения, составленные из данных атомов с помощью логических связок. Фоновым свидетельством является утверждение о том, что все структурные описания имеют одинаковые вероятности. Предположим, что алгебра содержит предложения ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ . Следующие пять аксиом гарантируют, что ${\displaystyle P(A\mid B\land K)}$ удовлетворяет законам вероятности.

Аксиома 1. ${\displaystyle P(A\mid B)\geq 0}$ .

Аксиома 2. ${\displaystyle P(A\mid A)=1}$ .

Аксиома 3. ${\displaystyle P(A\mid B)+P(\neg A\mid B)=1}$ .

Аксиома 4. ${\displaystyle P(A\land B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid A\land C)}$ .

Аксиома 5. Если ${\displaystyle A\land K\equiv C\land K}$ и ${\displaystyle B\land K\equiv D\land K}$ , то ${\displaystyle P(A\mid B)=P(C\mid D)}$ .

Здесь символ « ${\displaystyle \equiv }$ » означает логическую эквивалентность. К этим пяти аксиомам следует добавить еще четыре аксиомы Карнапа .

Аксиома 6. (Регулярности) ${\displaystyle P(B)>0}$ .

Аксиома 7. (Симметрии) ${\displaystyle P(B)}$ не изменяется при перестановке индивидуальных констант.

Аксиома 8. (Текущей релевантности ( англ. instantial relevance )) ${\displaystyle P(H\mid E_{2})>P(H\mid E_{1})}$ , где свидетельство ${\displaystyle E_{2}}$ содержит всю информацию, которая содержится в ${\displaystyle E_{1}}$ , плюс новые подтверждения гипотезы ${\displaystyle H}$ .

Аксиома 9. (Постулат достаточности) Индуктивная вероятность является функцией ${\displaystyle n_{i}}$ и ${\displaystyle n}$ .

На основании этих аксиом Карнап доказал следующую теорему . Если имеется ${\displaystyle t>2}$ различных исходов испытаний, то существуют положительные действительные константы ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ,…, ${\displaystyle \alpha _{t}}$ , такие что

${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}}$

где ${\displaystyle {\alpha }=\sum _{i=1}^{t}\alpha _{i}}$ .

Позднее выяснилось, что задолго до Карнапа этот результат был получен Джонсоном , однако вследствие его ранней смерти оказался неизвестен широкой научной общественности . Полученную формулу можно представить в виде:

${\displaystyle P(H\mid E)=({\frac {n}{n+\alpha }})[{\frac {n_{i}}{n}}]+({\frac {\alpha }{n+\alpha }})[{\frac {\alpha _{i}}{\alpha }}]}$

Выражения в квадратных скобках имеют очевидную интерпретацию. Первое ${\displaystyle {\frac {n_{i}}{n}}}$ представляет собой эмпирическую частоту, а второе ${\displaystyle {\frac {\alpha _{i}}{\alpha }}}$ — априорную вероятность исхода ${\displaystyle i}$ -го типа, полученную на основе анализа пространства возможных состояний. Выражения в круглых скобках — это относительные веса, которыми представлены эмпирические наблюдения и априорная информация в значении логической вероятности. При фиксированном ${\displaystyle n}$ , чем больше ${\displaystyle \alpha }$ , тем большую роль играет априорная информация (и наоборот). При малых ${\displaystyle n}$ , когда выборка наблюдений является недостаточно представительной, логично отдавать предпочтение априорной вероятности; при большом числе наблюдений, напротив — эмпирической частоте. При ${\displaystyle n\to \infty }$ значение индуктивной вероятности асимптотически стремится к значению частотной (независимо от конечной величины ${\displaystyle \alpha }$ ).

Универсальное обобщение

Пусть объектом наблюдения являются ${\displaystyle n}$ ворон, и все они оказались черными ( ${\displaystyle n_{i}=n}$ ). На основании данного опыта можно выдвинуть гипотезу о том, что вороны — черные вообще. Какова вероятность такого утверждения? На этот вопрос теория Джонсона — Карнапа дает парадоксальный ответ — она равна нулю .

Сэнди Забелл решил этот парадокс, заменив постулат достаточности новым постулатом . Пусть ${\displaystyle T}$ означает число исходов разных типов, наблюдаемых в серии из ${\displaystyle n}$ опытов. Новый постулат формулируется так: для всех ${\displaystyle n\geq 1}$ предсказывающая вероятность ${\displaystyle P(H\mid E)}$ является функцией ${\displaystyle n_{i}}$ и ${\displaystyle n}$ , за исключением случаев, когда ${\displaystyle n_{i}=0}$ и ${\displaystyle T=1}$ . В результате Забелл получил следующие формулы для индуктивной вероятности :

${\displaystyle P(H\mid E)={\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}}$ для ${\displaystyle T>1}$ ,

${\displaystyle P(H\mid E)=\varepsilon _{i}^{(n)}+(1-\varepsilon _{i}^{(n)}){\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}}$ для ${\displaystyle T=1}$ и ${\displaystyle n_{i}=n}$ .

${\displaystyle P(H\mid E)=(1-\varepsilon _{j}^{(n)}){\frac {\alpha _{i}}{n+\alpha }}}$ для ${\displaystyle T=1}$ , ${\displaystyle n_{i}=0}$ и ${\displaystyle n_{j}=n}$ .

где ${\displaystyle \varepsilon _{i}^{(n)}={\frac {\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i}+(1-\varepsilon )\prod _{j=0}^{n-1}({\frac {j+\alpha _{i}}{j+\alpha }})}}}$ ,

${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{i}<1}$ ,

${\displaystyle {\varepsilon }=\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i}<1}$ .

Здесь ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ — априорная и ${\displaystyle \varepsilon _{i}^{(n)}}$ — апостериорная вероятности того, что исход ${\displaystyle i}$ -го типа в данном эксперименте будет наблюдаться всегда.

Место логической вероятности в ряду вероятностей других типов

Согласно классическому определению, вероятность есть отношение числа избранных исходов некоторого эксперимента к числу всех мыслимых его исходов. При этом все они полагаются равновозможными. Как известно , критика недостатков этого определения привела к появлению понятия частотной вероятности. Логические теории возвращают нас к идее о том, что вероятность может быть определена априори путём исследования пространства возможностей, хотя теперь возможности могут быть заданы и с неравным весом.

Логическая вероятность имеет отношение к доступному свидетельству и не зависит от неизвестных фактов о мире, а частотная — является фактом о мире и не имеет отношения к доступному свидетельству . Тем не менее, различие между этими вероятностями достаточно тонкое. Например, если известно, что при бросании игральной кости величина частотной вероятности выпадения шестерки равна q =0,18, то логическая вероятность гипотезы «выпадет шестерка» относительно свидетельства «брошена кость с заданной q » равна 0,18.

Существует мнение , что если знания субъекта можно представить в виде некого сложного предложения ( total evidence ), то логическая вероятность способна служить разумным обоснованием субъективной вероятности. Однако в работе утверждается, что, субъективная вероятность — это смесь мистики, прагматизма и высокомерия, в которой лишь немного индуктивной вероятности.

Примечания