Ме́тод обра́тного преобразова́ния (Преобразование Н. В. Смирнова ) — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.

Описание алгоритма

Пусть ${\displaystyle F(x)}$ является функцией произвольного распределения . Покажем как, имея генератор выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения , получить выборку из распределения, задаваемого функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$ .

Строго возрастающая функция распределения

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ строго возрастает на всей области определения , то она биективна , а следовательно имеет обратную функцию ${\displaystyle F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ .

• Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ , где ${\displaystyle X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$ , — выборка из интересующего нас распределения.

Пример

Пусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром ${\displaystyle \lambda >0}$ . Функция этого распределения ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x}}$ строго возрастает, и её обратная функция имеет вид ${\displaystyle F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)}$ . Таким образом, если ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ , где

${\displaystyle X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n}$

— искомая выборка из экспоненциального распределения.

Неубывающая функция распределения

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм .

• Пусть ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]}$ — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
• Тогда ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ , где ${\displaystyle X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i=1,\ldots ,n}$ , — выборка из интересующего нас распределения. Равенство точной нижней грани минимуму выполняется ввиду непрерывности функции распределения справа, что означает, что точная нижняя грань достигается.

Замечания

• Если ${\displaystyle F(x)}$ строго возрастает, то ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\}}$ . Таким образом, модифицированный алгоритм для произвольной функции распределения включает в себя отдельно разобранный случай строго возрастающей функции распределения.
• Несмотря на кажущуюся универсальность, данный алгоритм имеет серьёзные практические ограничения. Даже если функция распределения строго возрастает, вычислить её обратную не всегда просто, особенно если она не задана в виде элементарной функции , как, например, в случае нормального распределения . В случае функции распределения общего вида чаще всего необходимо численно находить точную нижнюю грань , что может быть очень трудоёмко.

Математическое обоснование

Пусть ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$ , то есть ${\displaystyle F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]}$ . Рассмотрим функцию распределения случайной величины ${\displaystyle X=\inf\{x\mid F(x)=U\}}$ .

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U\leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)}$ .

То есть ${\displaystyle X}$ имеет функцию распределения ${\displaystyle F(x)}$ .

См. также

• Преобразование Бокса — Мюллера
• Алгоритм Зиккурат

Литература

Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. - СПб.: Наука, 2001, 295 с.