Метрика Леви — Прохорова ( метрика Прохорова ) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер ; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения (определённой Полем Леви в 1937 году).

Определяется на пространстве ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$ , где ${\displaystyle (M,d)}$ — метрическое пространство , а ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$ — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества ${\displaystyle A\subseteq M}$ определяется эпсилон-окрестность ${\displaystyle A}$ как:

${\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M\mid \exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)}$ ,

где ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ — открытый шар радиусом ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle p}$ . Метрика ${\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )}$ определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ как:

${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \forall (A\in {\mathcal {B}}(M))\,\mu (A)\leqslant \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ \wedge \ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\}}$ .

Очевидно, что для вероятностных мер ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leqslant 1}$ .

Свойства

Если пространство ${\displaystyle (M,d)}$ является сепарабельным , то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно . Таким образом, ${\displaystyle \pi }$ — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ .

Метрическое пространство ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ является сепарабельным тогда и только тогда когда ${\displaystyle (M,d)}$ сепарабельно.

Если пространство ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ является полным , то ${\displaystyle (M,d)}$ также является полным пространством. Если у всех мер в ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ есть сепарабельный носитель меры , то обратное утверждение также верно: если ${\displaystyle (M,d)}$ — полное, то ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ — полное. В частности, это тот случай, когда ${\displaystyle (M,d)}$ является сепарабельным.

Если ${\displaystyle (M,d)}$ сепарабельное и полное, подмножество ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \pi }$ -замыкание является ${\displaystyle \pi }$ -компактным.

Если ${\displaystyle (M,d)}$ сепарабельное, то ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y)\mid {\text{Law}}(X)=\mu ,{\text{Law}}(Y)=\nu \}}$ , где ${\displaystyle \alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0\mid \mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \}}$ — .

Примечания

Литература

• Леви — Прохорова метрика — статья из Математической энциклопедии . В. М. Золотарёв
• Patrick Billingsley. . — N. Y. : John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9 .
• R. M. Dudley. Real analysis and probability. — Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. — ISBN 0-534-10050-3 .
• Svetlozar T. Račev. Probability metrics and the stability of stochastic models. — Chichester: Wiley, 1991. — ISBN 0-471-92877-1 .