Неравенство Гюйгенса — популярное наименование в русскоязычной литературе одного из частных случаев неравенства Йенсена .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathbb {R} }_{+}}$ . Тогда

${\displaystyle 1+{\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{a_{i}}}}\leq {\sqrt[{n}]{\prod \limits _{i=1}^{n}{(1+a_{i})}}}}$ .

Связь с неравенством Йенсена

Логарифмируя обе части неравенства и переобозначая ${\displaystyle a_{i}=e^{x_{i}}}$ , получим

${\displaystyle \ln(1+e^{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}})\leq {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\ln {(1+e^{x_{i}})}}}$ .

А это — в точности неравенство Йенсена для функции ${\displaystyle f(x)=\ln {(1+e^{x})}}$ , которая выпукла, поскольку

${\displaystyle f'(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}=1-{\frac {1}{1+e^{x}}}}$ .

${\displaystyle f''(x)={\frac {1}{(1+e^{x})^{2}}}>0}$ .

Нетривиальность неравенства

Переобозначая ${\displaystyle x_{i}={\sqrt[{n}]{a_{i}}}}$ и возводя обе части неравенства в ${\displaystyle n}$ -тую степень, получим, что оно эквивалентно неравенству

${\displaystyle {\left({1+\prod \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}}\right)}^{n}\leq \prod \limits _{i=1}^{n}{(1+{x_{i}}^{n})}}$ .

После раскрытия скобок у левой и правой части окажутся два общих слагаемых ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{n}}}$ . В случаях когда либо все ${\displaystyle x_{i}<1}$ , либо когда все ${\displaystyle x_{i}>1}$ , какое-то одно из этих слагаемых оказывается наибольшим, какое-то — наименьшим, а значения остальных (без учёта коэффициентов при них после раскрытия бинома Ньютона ) оказываются между ними. Именно неравенство между суммами совершенно разных произведений этих промежуточных слагаемых представляет собой основную сложность для вывода неравенства напрямую, без неравенства Йенсена.

Литература

• Л. В. Радзивиловский. // Математическое Просвещение . — 2006. — № 10 .