Оператор Перрона — Фробениуса — оператор, описывающий изменение с течением времени плотности вероятности в фазовом пространстве состояний динамической системы . Назван в честь немецких математиков Фердинанда Фробениуса и Оскара Перрона .

Определение

Рассмотрим ансамбль траекторий динамической системы, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей ${\displaystyle P(x)}$ . Пусть с течением времени состояние динамической системы в фазовом пространстве изменяется ${\displaystyle x(t)=\varphi (x,t)}$ . При этом плотность вероятности изменяется: ${\displaystyle P(x,t)=L(P(x),t)}$ . Оператор ${\displaystyle L}$ называется оператором Перрона-Фробениуса .

Примеры

• Рассмотрим отображение ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ . Пусть на ${\displaystyle n}$ -м шаге в фазовом пространстве определена плотность вероятности ${\displaystyle p_{n}(x)}$ . Тогда для плотности вероятности на следующем шаге получим: ${\displaystyle p_{n+1}(y)=\int \delta (f(x)-y)p_{n}(x)dx=L(p_{n})}$ . Здесь оператор ${\displaystyle L}$ называется оператором Перрона — Фробениуса для отображения ${\displaystyle f(x)}$ . Он является линейным несамосопряжённым оператором .

См. также

• Теорема Фробениуса — Перрона

Примечания

Литература

• Малинецкий Г. Г. , Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М. : Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7 .