Факторизационное тождество - тождество, определяющее свойство характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы.

Формулировка

Для характеристической функции совместных распределений случайной величины, времени первого достижения нулевого уровня, первой неотрицательной суммы, времени достижения нулевого уровня, первой неположительной суммы при ${\displaystyle |z|<1}$ , ${\displaystyle Im\lambda =0}$ справедливо тождество: ${\displaystyle 1-z\phi (\lambda )=[1-M(e^{i\lambda \chi _{+}^{0}}z^{\eta _{+}^{0}});\eta _{+}^{0}<\infty ]D^{-1}(z)[1-M(e^{i\lambda \chi _{-}^{0}}z^{\eta _{-}^{0}});\eta _{-}^{0}<\infty ]}$ , где ${\displaystyle D(z)=1-M(z^{\eta _{+}^{0}});\chi _{+}^{0}=0,\eta _{+}^{0}<\infty )=1-M(z^{\eta _{-}^{0}});\chi _{-}^{0}=0,\eta _{-}^{0}<\infty )}$ .

Пояснения

В формулировке теоремы ${\displaystyle \phi (\lambda )=\phi _{\xi }(\lambda )=Me^{i\lambda \xi }}$ - характеристическая функция последовательности ${\displaystyle \{\xi _{k}\}}$ независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k},S_{0}=0}$ . Случайная величина ${\displaystyle \eta _{+}^{0}=min\{k\geq 1:S_{k}\geq 0\}}$ есть время первого достижения нулевого уровня. Определим ${\displaystyle \chi _{+}^{0}=S_{\eta _{+}^{0}}}$ как первую неотрицательную сумму. Случайная величина ${\displaystyle \eta _{-}^{0}=min\{k\geq 1:S_{k}\leq 0\}}$ есть время достижения нулевого уровня. Определим ${\displaystyle \chi _{-}^{0}=S_{\eta _{-}^{0}}}$ как первую неположительную сумму.

Литература

• Боровков А. А. Курс теории вероятностей. — М. : Наука, 1972. — С. 165. — 287 с.