Interested Article - Формула Вика

Формула Вика — формула теории вероятностей , выражающая математическое ожидание многочлена от координат гауссовского вектора через элементы матрицы ковариаций . Одним из её применений является связь между средним значением полинома от следов степеней случайной матрицы большого размера и родами поверхностей, получаемыми склейкой заданных многоугольников при различных отождествлениях сторон.

Формулировка

Теорема.

Пусть $(x_{1},\dots ,x_{k})$ — гауссов вектор с нулевым математическим ожиданием, $f_{1},\dots ,f_{2n}$ — линейные функции от $x_{1},\dots ,x_{k}$ . Тогда

E(f_{1}\cdot \dots \cdot f_{2n})=\sum \left(E(f_{p_{1}}f_{q_{1}})\right)\cdot \dots \cdot \left(E(f_{p_{n}}f_{q_{n}})\right),

где суммирование в правой части ведётся по всем разбиениям множества $\{1,\dots ,2n\}$ на пары $(p_{i},q_{i})$ с

p_{1}<\dots <p_{n},\quad \forall i\quad p_{i}<q_{i}

(тем самым, каждое разбиение оказывается посчитано ровно один раз).

Примеры

В качестве пояснения формулировки теоремы приведём несколько примеров:

$E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{2}\cdot x_{3})$ $E(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})=E(x_{1}\cdot x_{2})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{3})\cdot E(x_{2}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{4})\cdot E(x_{3}\cdot x_{2}\cdot x_{5}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{5})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{2}\cdot x_{6})+E(x_{1}\cdot x_{6})\cdot E(x_{3}\cdot x_{4}\cdot x_{5}\cdot x_{2})$

См. также

Теорема Вика для функционального интеграла

Ссылки

A. Okounkov, от 17 февраля 2022 на Wayback Machine , с. 10
S. K. Lando, A. K. Zvonkin, Embedded graphs, от 18 сентября 2011 на Wayback Machine , Theorem 3.3.8.