Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора ) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).

Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются неустойчивости границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны ( неустойчивость Рихтмайера — Мешкова ) и неустойчивость плазмы , находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе магнитным полем ( неустойчивость Крускала — Шварцшильда )

Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой неустойчивости, является число Атвуда .

Аналитическое описание

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости .

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести ${\displaystyle {\vec {g}}}$ друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации — синий цвет), плотности жидкостей ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ . Верхняя и нижняя границы — твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера :

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+{\vec {g}},}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

В дальнейшем компоненты скорости определяются как ${\displaystyle {\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}}$ . Вполне очевидно, что равновесное решение ( ${\displaystyle {\vec {v}}=0}$ ) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g}$

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

${\displaystyle P_{0}=-\rho gz.}$

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость ${\displaystyle {\vec {v}}}$ настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым ${\displaystyle \left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}}$ в уравнении Эйлера, а давление имеет вид ${\displaystyle P=P_{0}+P'}$ , где ${\displaystyle P'\ll P_{0}}$ . Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, так как жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

${\displaystyle \quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=w,}$

и динамическое условие

${\displaystyle \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =\sigma \Delta \zeta .}$

Условие непротекания верхней и нижней границ:

${\displaystyle z=\pm h:\quad w=0,}$

где ${\displaystyle \zeta }$ — величина отклонения границы от невозмущённой, ${\displaystyle \sigma }$ — коэффициент поверхностного натяжения . Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:

${\displaystyle {\vec {v}},P,\zeta \sim e^{\lambda t}e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\right)},}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — скорость роста (инкремент) возмущения, ${\displaystyle k_{x},k_{y}}$ — компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается ${\displaystyle w}$ :

${\displaystyle \lambda w=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z}},}$

а условие несжимаемости ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0}$ даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-k^{2}P=0,}$

с граничными условиями:

${\displaystyle z=0:\quad \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =-\sigma k^{2}\zeta ,}$

${\displaystyle z=0:\quad {\frac {1}{\rho _{1}}}{\frac {\partial P_{1}}{\partial z}}-{\frac {1}{\rho _{2}}}{\frac {\partial P_{2}}{\partial z}}=0,}$

${\displaystyle z=\pm h:\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=0.}$

Решение уравнения Лапласа для давления:

${\displaystyle P_{1}=C_{1}\cosh k\left(h-z\right),}$

${\displaystyle P_{2}=C_{2}\cosh k\left(h+z\right).}$

Константы ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора

${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g-\sigma k^{2}}{\rho _{1}+\rho _{2}}}k\tanh kh,}$

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при ${\displaystyle \lambda =0}$ ):

${\displaystyle k_{c}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{\sigma }}}$ .

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв ( ${\displaystyle kh\gg 1}$ ) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

${\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{3\sigma }}}$ .

В тонких слоях ( ${\displaystyle kh\ll 1}$ ):

${\displaystyle k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{2\sigma }}}$ .

В природе

• Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака , а также ядерный гриб и экваториальные ионосферные пузыри .

См. также

• Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца
• Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова

Литература

• Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. — с. 143—146.
• Векштейн Г. Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — с. 109—111.

Ссылки

• от 25 ноября 2010 на Wayback Machine