Простое число Ньюмена — Шэнкса — Уильямса ( NSW-простое ) — простое число , которое можно записать в виде:

${\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}}$ , где ${\displaystyle m=0,1,2,...}$ .

Такие числа были впервые описаны (Morris Newman), Дэниелом Шенксом и ( Hugh C. Williams ) в 1981 году в результате изучения с квадратным порядком.

Несколько первых NSW-простых:

7 , 41 , 239 , 9369319, 63018038201, … (последовательность в OEIS ), соответствующих индексам 3, 5, 7, 19, 29, … (последовательность в OEIS ).

Последовательность ${\displaystyle S}$ , упомянутая в формуле, может быть описана следующим рекуррентным соотношением :

${\displaystyle S_{0}=1}$ ,

${\displaystyle S_{1}=1}$ ,

${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}\qquad }$ , ${\displaystyle n\geq 2}$ .

Первые несколько элементов последовательности: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, … последовательность в OEIS . Каждый член этой последовательности равен половине соответствующего члена последовательности сопровождающих чисел Пелля . Эти числа появляются также в цепной дроби для ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .

Литература

• M. Newman, D. Shanks, H. C. Williams. Simple groups of square order and an interesting sequence of primes // . — 1980. — Т. 38 , № 2 . — С. 129–140 . .

Ссылки