Формализм GENERIC ( подход GENERIC, формулировка GENERIC ) — гамильтонова формулировка неравновесной термодинамики, предложенная в окончательном своем виде Грмелой (Grmela) и Оттингером (Öttinger) в 1997 . Название метода является акронимом от англ. General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling — общее уравнение для неравновесной обратимой и необратимой связи.

Суть подхода

В основе данного подхода лежит предположение, что уравнения эволюции системы могут быть представлены следующим выражением (собственно GENERIC):

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=\mathbf {L} \cdot {\frac {\delta E}{\delta {\boldsymbol {x}}}}+\mathbf {M} \cdot {\frac {\delta S}{\delta {\boldsymbol {x}}}},}$

здесь:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ — набор независимы переменных, описывающий систему. Вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ может содержать величины, непрерывно зависящие от индекса (например, гидродинамические поля).
• ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle S}$ — полные энергия и энтропия системы, выраженные через ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ . Являются простым функциями или выражаются функционалами в случае, если какие-то переменные ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ являются полями.
• ${\displaystyle \mathbf {L} }$ и ${\displaystyle \mathbf {M} }$ — линейные функциональные операторы, выражающие, соответственно, обратимую и необратимую части эволюции.
• ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta {\boldsymbol {x}}}}}$ обозначает функциональную производную . В отсутствие нелокальных эффектов сводится к обычной частной производной.

Вышеприведенное уравнение дополняется следующими условиями вырожденности:

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\frac {\delta S}{\delta {\boldsymbol {x}}}}=0,\;\;\;\;\mathbf {M} \cdot {\frac {\delta E}{\delta {\boldsymbol {x}}}}=0,}$

Первое из них соответствует тому, что функциональная форма энтропии не может внести свой вклад в обратимую составляющую эволюции. Второе условие выражает тот факт, что полная энергия не зависит от необратимой составляющей динамики.

Остановимся на свойствах матриц ${\displaystyle \mathbf {L} }$ и ${\displaystyle \mathbf {M} }$ . Этим матрицам сопоставляются следующие скобки:

${\displaystyle \left\{A,B\right\}=\left\langle {\frac {\delta A}{\delta {\boldsymbol {x}}}},\mathbf {L} \cdot {\frac {\delta B}{\delta {\boldsymbol {x}}}}\right\rangle ,}$

${\displaystyle \left[A,B\right]=\left\langle {\frac {\delta A}{\delta {\boldsymbol {x}}}},\mathbf {M} \cdot {\frac {\delta B}{\delta {\boldsymbol {x}}}}\right\rangle ,}$

первые из которых представляет собой скобки Пуассона из классической механики, а скобки ${\displaystyle [\,{,}\,]}$ предназначены для описания диссипативных процессов. ${\displaystyle \left\langle \,{,}\,\right\rangle }$ обозначает скалярное произведение . С помощью этих скобок эволюция произвольной функции ${\displaystyle A({\boldsymbol {x}})}$ запишется как:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\left\{A,E\right\}+\left[A,S\right].}$

Также из свойств вышеозначенных скобок следует, что оператор ${\displaystyle \mathbf {L} }$ антисимметричен ( ${\displaystyle \mathbf {L} ({\boldsymbol {x}})=-\mathbf {L} ^{T}({\boldsymbol {x}})}$ ). ${\displaystyle \mathbf {M} }$ — симметричен ( ${\displaystyle \mathbf {M} ({\boldsymbol {x}})=\mathbf {M} ^{T}({\boldsymbol {x}})}$ ), при условии, что все переменные ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ имеют одинаковую четность по отношению к обращению времени. ${\displaystyle \mathbf {M} }$ является положительно-определенным оператором ( ${\displaystyle \forall \,{\boldsymbol {y}}\!:{\boldsymbol {y}}\cdot \mathbf {M} ({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {y}}\geqslant 0}$ ).

Перечисленные свойства и условия выродженности обеспечивают выполнение первого и второго начала термодинамики.

Примечания

Литература

• Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.