Interested Article - Линк вершины многогранника

Линк вершины треугольной призмы является треугольником .

Линк вершины большого икосаэдра — пентаграмма .

Линк вершины многогранника или вершинная фигура — многогранник на единицу меньшей размерности, который получается в сечении исходного многогранника плоскостью, срезающей одну вершину. В частности линк вершины содержит информацию о порядке следования граней многогранника вокруг одной вершины.

Определения — основное и вариации

Если взять некоторую вершину многогранника, отметить точку где-нибудь на каждом из прилегающих рёбер, нарисовать отрезки на гранях, соединяя полученные точки, в результате получится полный цикл (многоугольник) вокруг вершины. Этот многоугольник и является линком вершины.

Формальное определение может варьироваться очень широко в зависимости от обстоятельств. Например, Коксетер (1948, 1954) менял своё определение как ему удобно для текущего обсуждения. Большинство нижеприведённых определений линка подходит одинаково хорошо как для бесконечных мозаик на плоскости, так и для пространственных мозаик из многогранников .

Как плоское сечение

Если срезать вершину многогранника, пересекая каждое из рёбер, смежных вершине, поверхность среза будет являться линком. Это, пожалуй, наиболее общепринятый подход и наиболее понятный. Разные авторы делают срез в разных местах. Веннинджер перерезает каждое ребро на единичном расстоянии от вершины, так же как это делает и Коксетер (1948). Для однородных многогранников построение Дормана Люка пересекает каждое смежное ребро в середине. Другие авторы делают сечение через вершину на другой стороне каждого ребра .

Как сферический многоугольник

Кромвель делает сферическое сечение с центром в вершине. Поверхность сечения или линк, тогда, является сферическим многоугольником на этой сфере.

Как множество связных вершин

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Скиллинг ) рассматривают линк как упорядоченное (или частично упорядоченное) множество точек всех соседних (соединённых ребром) вершин для данной вершины.

Абстрактное определение

В теории абстрактных многогранников линка заданной вершины V состоит из всех элементов, инцидентных вершине — вершин, рёбер, граней и т. д.

Это множество элементов известно как вершинная звезда .

Основные свойства

Линка вершины n -многогранника — это ( n −1)-многогранник. Например, линком вершины 3-мерного многогранника является многоугольник , а линком для 4-мерного многогранника является 3-мерный многогранник.

Линки наиболее полезны для однородных многогранников , поскольку все вершины имеют один линк.

Для невыпуклых многогранников линк может быть тоже невыпуклым. Однородные многогранники, например, могут иметь грани в виде звёздчатых многоугольников , звёздчатыми могут быть и линки.

Построение Дормана Люка

Грань двойственного многогранника двойственные линку соответствующей вершины.

Правильные многогранники

Если многогранник правильный, его можно описать символом Шлефли , символы граней, и линков можно извлечь из этой записи.

В общем случае правильный многогранник с символом Шлефли { a , b , c ,..., y , z } имеет грани (наибольшей размерности) { a , b , c ,..., y }, а в качестве линка будет { b , c ,..., y , z }.

Для трёхмерного правильных многогранников , возможно звёздчатых { p , q }, линком будет { q }, q -угольник.
- Например, линк для куба {4,3} — треугольник {3}.
Для правильных 4-мерных многогранников или пространственных мозаик { p , q , r } линком будет { q , r }.
- Например, линком для гиперкуба {4,3,3} будет правильный тетраэдр {3,3}.
- Линком для кубических сот {4,3,4} будет правильный октаэдр {3,4}.

Поскольку двойственный многогранник правильного многогранника также является правильным и представляется обратными индексами в символе Шлефли, легко понять, что двойственная фигура к линку вершины является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников этот факт является частным случаем построения Дормана Люка .

Пример линка сот

Линком вершины является неоднородная квадратная пирамида . Один октаэдр и четыре усечённых куба, расположенных около каждой вершины, образуют пространственную мозаику .

Линк вершины : Неоднородная квадратная пирамида	Диаграмма Шлегеля	Перспектива
Образуется из квадратного основания октаэдра	(3.3.3.3)
и четырёх равнобедренных треугольных сторон усечённого куба	(3.8.8)

Линк ребра

*Усечённые кубические соты* имеют два типа рёбер. Рёбра первого типа принадлежат четырём *усечённым кубам* , а рёбра второго — одному октаэдру и двум усечённым кубам. Это можно рассматривать как два вида *линка рёбер* . Эти рёбра можно рассматривать как линк линка

С линком связано другое понятие — линк ребра . Линк ребра является ( n −2)-многогранником, представляющим расстановку граней размерности n −1 вокруг данного ребра (прилегающих к данному ребру). Линк ребра является линком вершины линка вершины . Линки ребер полезны для выражения связей между элементами правильных и однородных многогранников.

Правильные и однородные многогранники, полученные в результате отражений с одним активным зеркалом , имеют единственный тип линка ребра, но в общем случае однородный многогранник может иметь столько линков, сколько зеркал активны при построении, поскольку каждое активное зеркало создаёт ребро в фундаментальной области.

Правильные многогранники (и соты) имеют единственный линк ребра , которая является также правильным. Для правильного многогранника { p , q , r , s ,..., z } линк ребра будет { r , s ,..., z }.

В четырёхмерном пространстве линк ребра многогранника или трёхмерных сот является многоугольником, представляющим расположение граней вокруг ребра. Например, линк ребра правильных кубических сот {4,3,4} является квадрат , а для правильного четырёхмерного многогранника { p , q , r } линк ребра будет { r }.

Менее очевидно, что у t _0,1 {4,3,4} в качестве линк вершины выступает квадратная пирамида . Здесь присутствует два типа линков ребер . Один — квадратный линк ребра при вершине пирамиды, она соответствует четырём усечённым кубам вокруг ребра. Второй лик — треугольники при основании пирамиды. Они представляют расположение двух усечённых кубов и октаэдра вокруг других ребер.

См. также

Примечания

, с. 23.
.
, p. 401–450.
, p. 111–135.
.
.
Дата обращения: 3 ноября 2015. 8 августа 2011 года.

Литература

М. Веннинджер . Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома . — М. : Мир , 1974. — 236 с.
H. S. M Coxeter . Chapter 8: Truncation // . — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. –154. — ISBN 0-486-61480-8 .
H. S. M. Coxeter (et al.). Uniform Polyhedra. — Phil. Trans, 1954. — Т. 246 A .
P. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University press, 1999. — ISBN 9-521-55432-2 .
H. M. Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models. — Oxford, New York, 1961.
J. Skilling. The Complete Set of Uniform Polyhedra. — 1975. — Т. 278 A .
M. Wenninger. Dual Models. — Cambridge University press, 2003. — ISBN 0-521-34534-9 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Vertex figures // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .