Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность. Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа . Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа , которая тесно связана с вершинной:

Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины , и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.

Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.

Для любой конечной группы найдётся такой конечный неориентированный граф, что его группа автоморфизмов изоморфна данной. Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы , обобщения графа Кэли .

См. также

• АТ-группа
• Автоморфизм
• Гомоморфизм графов
• Характерная раскраска

Примечания