Для данного простого
-мерного многогранника
обозначим через
количество граней
размерности
;
в частности,
.
Рассмотрим формальную сумму
где
, то есть коэффициенты
возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.
Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид
для каждого целого
.
Связанные определения
Последовательность
называется f-вектором многогранника.
Последовательность
называется h-вектором многогранника.
Если
— линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника
лежат на разных уровнях
, тогда
равно числу вершин
индекса
; то есть ровно
рёбер из этой вершины идут вниз по
. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой
на
.
В дополнении получаем
для любого
, это даёт нетривиальные неравенства на
-вектор.
История
В размерности 4 и 5 соотношения были описаны
Максом Деном
.
В общем случае уравнения были описаны
в 1927.
Примечания
M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang
mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586
Литература
В. А. Тиморин.
. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). —
ISBN 5-94057-024-0
.