Interested Article - Октаэдрическая пирамида

Октаэдрическая пирамида

Диаграмма Шлегеля : проекция ( перспектива ) правильной октаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип
Символ Шлефли ( ) ∨ {3,4}
( ) ∨ r{3,3}
( ) ∨ s{2,6}
( ) ∨ [{4} + { }]
( ) ∨ [{ } + { } + { }]
Ячеек 9
Граней 20
Рёбер 18
Вершин 7
Двойственный политоп Кубическая пирамида
Ортогональная двумерная проекция равногранной октаэдрической пирамиды, вращающейся вокруг плоскости, проходящей через четыре ребра её основания

Октаэдри́ческая пирами́да четырёхмерный многогранник (многоячейник): , имеющая основанием октаэдр .

Описание

Ограничена 9 трёхмерными ячейками — 8 тетраэдрами и 1 октаэдром . Октаэдрическая ячейка окружена всеми восемью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена октаэдрической и тремя тетраэдрическими.

Её 20 двумерных граней — треугольники . 8 граней разделяют октаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 12 — две тетраэдрических.

Имеет 18 рёбер. На 12 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (октаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 6 — по четыре грани и по четыре ячейки (только тетраэдрические).

Имеет 7 вершин. В 6 вершинах сходятся по 5 рёбер, по 8 граней и по 5 ячеек (октаэдрическая и четыре тетраэдрических); в 1 вершине — 6 рёбер, 12 граней и все 8 тетраэдрических ячеек.

Равногранная октаэдрическая пирамида

Если все рёбра октаэдрической пирамиды имеют равную длину , её грани являются одинаковыми правильными треугольниками . Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

Высота пирамиды и радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будут равны

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в центре её основания.

Такую пирамиду можно получить из шестнадцатиячейника , разрезав его на две равные части.

Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен как и в шестнадцатиячейнике. Угол между октаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен

В координатах

Равногранную октаэдрическую пирамиду с длиной ребра можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

Начало координат будет центром описанной и обеих полувписанных гиперсфер многоячейника.

Заполнение пространства

Так как две равногранных октаэдрических пирамиды образуют шестнадцатиячейник, а шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, равногранная октаэдрическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.

Ссылки

  • Richard Klitzing.
Источник —

Same as Октаэдрическая пирамида