Осциллятор Дуффинга ( англ. Duffing oscillator ) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой частицу, движущуюся в потенциале ${\displaystyle U(x)=ax^{2}/2+bx^{4}/4}$ . При ${\displaystyle b=0}$ система сводится к обычному гармоническому осциллятору . Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность моделирования хаотической динамики.

Уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-ax-bx^{3}}$ ,

где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle m}$ , соответственно — координата частицы и её масса. Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуффингом в 1918 году. Дискретная его версия известна как (англ.) ( .

Решение осциллятора Дуффинга выражается через эллиптические функции: ${\displaystyle x(t)=a_{1}cn(u,k),u=a_{2}t+b}$ .

Зависимость амплитуды от частоты

В отсутствие диссипации (трения), гармонический (линейный) осциллятор, находящийся под действием внешней периодической силы ${\displaystyle F=F_{0}\cos(\omega t)}$ , испытывает резонанс , если частота этой силы ${\displaystyle \omega }$ совпадает с собственной частотой осциллятора ${\displaystyle \omega _{0}=\omega }$ . Вблизи резонанса осциллятор совершает колебания конечной амплитуды. Последняя пропорциональна ${\displaystyle (\omega _{0}-\omega )^{-2}}$ и расходится точно в резонансе.

В отличие от гармонического осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение.

Примечания

Литература

• Ivana Kovacic, Michael J Brennan. The Duffing Equation : Nonlinear Oscillators and their Behaviour. — John Wiley & Sons, 2011. — ISBN 9780470715499 .
• M. Lakshmanan, K Murali. Chaos In Nonlinear Oscillators: Controlling And Synchronization. — World Scientific, 1996. — Vol. 13. — P. 35—90. — 340 p. — (World Scientific Series on Nonlinear Science Series A). — ISBN 978-981-02-2143-0 .

Ссылки