Уравнением пятой степени называют уравнение вида: ${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}$

Теорема Виета для уравнения пятой степени

Корни уравнения пятой степени ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}}$ связаны с коэффициентами ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f}$ следующим образом:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.}$

Решение

Точной формулы решения уравнения пятой степени не существует . Если ${\displaystyle a=1,f=0}$ , то уравнение имеет вид:

${\displaystyle x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0}$ , где ${\displaystyle x}$ выносим за скобки (см. )

${\displaystyle x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0}$ , где один из корней равен нулю .

В скобках уравнение четвертой степени .

Если ${\displaystyle b=d=0}$ , уравнение биквадратное . Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$ .

Если ${\displaystyle b=e=0}$ , уравнение в скобках имеет вид

${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx=0}$ , где выносим за скобки:

${\displaystyle x(x^{3}+cx+d)=0}$ , где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано .

Пример

Решите уравнение

${\displaystyle x^{5}+5x=0}$ .

Решение. Выносим ${\displaystyle x}$ за скобки:

${\displaystyle x(x^{4}+5)=0}$ .

Раскладываем ${\displaystyle x^{4}+5}$ на множители:

${\displaystyle x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0}$ .

Уравнение имеет пять корней:

${\displaystyle x_{1}=0}$ , ${\displaystyle x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$ , ${\displaystyle x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$ , ${\displaystyle x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$ , ${\displaystyle x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$ .

Ссылки