Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства , переводящее точку X в такую точку X′ , что A — середина отрезка XX′ . Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ${\displaystyle Z_{A}}$ , в то время как обозначение ${\displaystyle S_{A}}$ можно перепутать с осевой симметрией . Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A . Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота , точнее, является поворотом на 180 градусов .

Векторная запись

• Пусть G — оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r_{A}}}}$ , а преобразовываемая точка задается радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {x}}}$ . Тогда имеет место следующая формула:

  ${\displaystyle G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}}$

Связанные определения

• Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle A}$ называют центром симметрии этой фигуры, а сама фигура называется центрально-симметричной .

Свойства

• Центральная симметрия является движением (изометрией) .

• В n -мерном пространстве если преобразование R является последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей , то R - центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей. Как следствие:
  • В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию , а в нечётномерных — не сохраняет.

• Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 ( ${\displaystyle H_{A}^{-1}}$ ).

• Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:

  ${\displaystyle Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}}$

• В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией .

• На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A ( ${\displaystyle R_{A}^{180}}$ ). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию .

• Центральную симметрию в трёхмерном пространстве можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

• В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве ), проходящих через центр симметрии.

• У центрально-симметричной фигуры, либо один центр симметрии, либо их бесконечно много.

См. также

• Осевая симметрия
• Зеркальная симметрия
• Радиальная симметрия

Литература

• Бобылёв Д. К. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Селиванов Д. Ф. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.