Теорема Пестова — Ионина — классическая теорема дифференциальной геометрии плоских кривых , обобщение теоремы о четырёх вершинах .

Теорема сформулирована Абрамом Ильичом Фетом , доказана Германом Гавриловичем Пестовым , его доказательтво существенно упрощено Владимиром Кузьмичём Иониным . Для выпуклых кривых результат был известен существенно раньше.

Формулировка

Любая область плоскости, ограниченная гладкой замкнутой кривой с кривизной не более 1, содержит круг радиуса 1.

Вариации и обобщения

• Из доказательства Пестова и Ионина следует более сильное утверждение: для любой простой гладкой замкнутой регулярной кривой на плоскости существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится в замкнутой области внутри кривой; также существуют две точки соприкасающаяся окружность в которых содержится во внешней замкнутой области кривой.
  • Точки в которых соприкасающаяся окружность лежит по одну сторону от кривой являются вершинами кривой , а значит приведённое утверждение является усилением теоремы о четырёх вершинах .

• Аналогичный результат в пространстве не верен, а именно существуют вложения сферы с главными кривизнами, не превосходящими 1 по абсолютной величине, такие, что ограниченная ею область не содержит шара радиуса 1.

Примечания

Ссылки

• на YouTube — в этом видео приводится доказательство теоремы Пестова — Ионина.
• на YouTube — в этом видео обсуждается пример Лагунова.