Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии .

История

Опубликована в 1803 году Уильямом Уоллесом в английском журнале . Позднее еще не раз переоткрывалась.

Формулировка

Пусть через точку М , являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности , проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y . Тогда М является серединой отрезка XY .

Замечания

Верна и обратная теорема о бабочке :

• Пусть через точку М внутри некоторой окружности проведены две произвольные хорды АВ и CD . Пусть хорды AD и ВС пересекают произвольную хорду PQ в точках X и Y . Тогда если М является серединой отрезка XY , то она одновременно является серединой хорды PQ .

О доказательствах

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.

• В частности, в проективной модели плоскости Лобачевского , треугольник ${\displaystyle \triangle AMD}$ центрально симметричен ${\displaystyle \triangle BMC}$ и отсюда легко следует теорема.

• При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек ${\displaystyle (P,M,X,Q)}$ , и спроецируем его на окружность из точки ${\displaystyle A}$ . Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle X}$ перейдут в точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ соответственно. Получаем ${\displaystyle (P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)}$ (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую ${\displaystyle PQ}$ с центром в точке ${\displaystyle C}$ , получаем ${\displaystyle (P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)}$ . Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.
• Используется также метод инверсии

Вариации и обобщения

• Обобщение Шарыгина : Пусть на окружности дана хорда AB , на ней — точки M и N , причём AM = BN . Через точки M и N проведены хорды PQ и RS , соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L , тогда AK = BL .

Ссылки

• Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
• Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). — М. : Гостехиздат, 1952.
• Жижилкин И. Д. .. — М. : МЦНМО, 2009. — С. 36.

Примечания